G8-E11

[!infobox] Teorema: Caracterización de Conjuntos Medibles Contexto: Teoría de la Medida (Regularidad) Enunciado: Sea $A \subseteq \mathbb{R}$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $A$ es Lebesgue-medible ($A \in \mathcal{M}$).
2. $A = F \cup Z$, donde $F$ es una unión numerable de cerrados ($F_\sigma$) y $\mu(Z) = 0$.
3. $A = G \setminus H$, donde $G$ es una intersección numerable de abiertos ($G_\delta$) y $\mu(H) = 0$.

Clave: Usar la propiedad de Regularidad: $\forall \varepsilon > 0, \exists \mathcal{O} \text{ abierto } \supseteq A \text{ tal que } \mu(\mathcal{O} \setminus A) < \varepsilon$.

Demostración:

(b) $\implies$ (a) y (c) $\implies$ (a): Son inmediatas dado que la $\sigma$-álgebra de Lebesgue $\mathcal{M}$ contiene a los conjuntos de Borel (abiertos y cerrados), es cerrada bajo uniones/intersecciones numerables y es completa (contiene a todos los conjuntos de medida nula).

(a) $\implies$ (c): Aproximación por $G_\delta$ Sea $A \in \mathcal{M}$.

1. Por la Regularidad Exterior de la medida de Lebesgue, para cada $n \in \mathbb{N}$, existe un conjunto abierto $G_n$ tal que $A \subseteq G_n$ y:

$$\mu(G_n \setminus A) < \frac{1}{n}$$

*(Nota: Si $\mu(A)=\infty$, se aplica esto a $A \cap [-k, k]$ y se unen los resultados).*

2. Definimos $G = \bigcap_{n=1}^{\infty} G_n$. Como cada $G_n$ es abierto, $G$ es un conjunto $G_\delta$ (intersección numerable de abiertos). 3. Claramente $A \subseteq G$. Sea $H = G \setminus A$. Observamos que $H \subseteq G_n \setminus A$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Por monotonía de la medida:

$$\mu(H) \leq \mu(G_n \setminus A) < \frac{1}{n}$$

4. Haciendo $n \to \infty$, concluimos que $\mu(H) = 0$. Por lo tanto, $A = G \setminus H$.

(a) $\implies$ (b): Aproximación por $F_\sigma$ Sea $A \in \mathcal{M}$.

1. Por la Regularidad Interior, para cada $n \in \mathbb{N}$, existe un conjunto cerrado $F_n$ tal que $F_n \subseteq A$ y:

$$\mu(A \setminus F_n) < \frac{1}{n}$$

2. Definimos $F = \bigcup_{n=1}^{\infty} F_n$. Como cada $F_n$ es cerrado, $F$ es un conjunto $F_\sigma$ (unión numerable de cerrados).
3. Claramente $F \subseteq A$. Sea $Z = A \setminus F$. Observamos que $Z = A \setminus \bigcup F_n = \bigcap (A \setminus F_n) \subseteq (A \setminus F_n)$ para todo $n$. Por monotonía:

$$\mu(Z) \leq \mu(A \setminus F_n) < \frac{1}{n}$$

4. Haciendo $n \to \infty$, obtenemos $\mu(Z) = 0$. Por lo tanto, $A = F \cup Z$.

$$\blacksquare$$