G8-E10

[!infobox] Proposición: Medida Plena implica Densidad Contexto: Teoría de la Medida (Relación Medida-Topología) Enunciado: Sea $A \subseteq [0, 1]$ un conjunto medible tal que $\mu(A) = 1$. Entonces $A$ es denso en $[0, 1]$. Advertencia/Clave: La recíproca es falsa (ej: $\mathbb{Q}$ es denso pero tiene medida 0). Para esta prueba, usar que todo abierto no vacío tiene medida estrictamente positiva.

Demostración:

Procedemos por reducción al absurdo. Supongamos que $A$ no es denso en $[0, 1]$.

1. Consecuencia Topológica: Por definición de densidad, si $A$ no es denso, existe un conjunto abierto no vacío $U \subseteq [0, 1]$ tal que $A \cap U = \emptyset$. (En $\mathbb{R}$, esto implica la existencia de un intervalo abierto $I \subseteq U$ tal que $A \cap I = \emptyset$).

2. Inclusión de Conjuntos: Si $A \cap I = \emptyset$, entonces $A$ está contenido en el complemento de $I$ respecto al total:

$$A \subseteq [0, 1] \setminus I$$

3. Medida y Monotonía: Aplicamos la medida de Lebesgue $\mu$. Por la propiedad de monotonía:

$$\mu(A) \leq \mu([0, 1] \setminus I)$$

Dado que $I \subseteq [0, 1]$, tenemos:

$$\mu(A) \leq \mu([0, 1]) - \mu(I)$$

4. Contradicción: Sabemos por hipótesis que $\mu(A) = 1$ y $\mu([0, 1]) = 1$. Además, como $I$ es un intervalo abierto no vacío, su longitud es estrictamente positiva: $\mu(I) > 0$.

   Sustituyendo:

$$1 \leq 1 - \mu(I)$$ $$0 \leq -\mu(I)$$ $$\mu(I) \leq 0$$

Esto contradice el hecho de que $\mu(I) > 0$.

Conclusión: La suposición inicial es falsa, por lo tanto $A$ debe intersectar a todo abierto no vacío. $A$ es denso en $[0, 1]$.

$$\blacksquare$$