G8-E1

[!infobox] Ejercicio: La $\sigma$-álgebra Conumerable Contexto: Teoría de la Medida / Espacios Medibles Enunciado: Sea $X$ un conjunto. Pruebe que la colección $\mathcal{A} = \{ A \subseteq X : A \text{ es contable o } A^c \text{ es contable} \}$ es una $\sigma$-álgebra. Clave: Usar De Morgan para probar que la unión de conjuntos donde al menos uno es "co-contable" resulta en un conjunto "co-contable".

Demostración:

Para que $\mathcal{A}$ sea una $\sigma$-álgebra, debe satisfacer tres propiedades:

1. El conjunto vacío pertenece a $\mathcal{A}$: El conjunto $\emptyset$ es finito, y por tanto contable.

$$\implies \emptyset \in \mathcal{A}$$

2. Cerradura bajo complementos: Sea $A \in \mathcal{A}$. Por definición, se cumple una de las siguientes:

   • Caso (i): $A$ es contable. Entonces $(A^c)^c = A$ es contable. $\implies A^c \in \mathcal{A}$.
   • Caso (ii): $A^c$ es contable. Entonces $A^c$ es trivialmente contable. $\implies A^c \in \mathcal{A}$. En cualquier caso, $A^c \in \mathcal{A}$.

3. Cerradura bajo uniones contables: Sea $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{A}$. Sea $S = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$. Distinguimos dos casos:

   • Caso 1: Todos los $A_n$ son contables. Sabemos que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable.

$$\implies S \text{ es contable} \implies S \in \mathcal{A}.$$

* **Caso 2:** Existe al menos un $k \in \mathbb{N}$ tal que $A_k$ no es contable.
    Como $A_k \in \mathcal{A}$, necesariamente $A_k^c$ es contable.
    Analizamos el complemento de la unión $S^c$ usando las Leyes de De Morgan:
    

$$S^c = \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c$$

    Dado que la intersección de conjuntos es subconjunto de cada uno de ellos:
    

$$S^c \subseteq A_k^c$$

    Como $A_k^c$ es contable y todo subconjunto de un conjunto contable es contable, entonces $S^c$ es contable.
    

$$\implies S \in \mathcal{A}.$$

Conclusión: $\mathcal{A}$ satisface los axiomas y es una $\sigma$-álgebra sobre $X$.

$$\blacksquare$$