G7- E8

Enunciado:

Sea $(f_n)_{n \ge 1}: [a, b] \to \mathbb{R}$ una sucesión de funciones derivables que converge puntualmente a una función $f: [a, b] \to \mathbb{R}$. Pruebe que si existe $c > 0$ tal que $|f'_n(x)| \le c$ para todo $x \in [a, b]$ y para todo $n \in \mathbb{N}$, entonces $f$ es continua.

Demostración:

La estrategia clave aquí es utilizar el Teorema del Valor Medio para demostrar que todas las funciones $f_n$ satisfacen una condición de Lipschitz con la misma constante, y luego probar que esta propiedad se hereda a la función límite $f$.

1. Aplicación del Teorema del Valor Medio

Tomemos dos puntos cualesquiera $x, y \in [a, b]$.

Como cada función $f_n$ es derivable en $[a, b]$, es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$. Por el Teorema del Valor Medio (Lagrange), para cada $n \in \mathbb{N}$, existe un punto $\xi_n$ entre $x$ e $y$ tal que:

$$f_n(x) - f_n(y) = f'_n(\xi_n) \cdot (x - y)$$

2. Uso de la cota de la derivada

Tomamos el valor absoluto en ambos lados de la igualdad anterior:

$$|f_n(x) - f_n(y)| = |f'_n(\xi_n)| \cdot |x - y|$$

Por hipótesis, sabemos que la derivada está acotada uniformemente: $|f'_n(t)| \le c$ para todo $t \in [a, b]$ y para todo $n$. Aplicando esto a $\xi_n$:

$$|f_n(x) - f_n(y)| \le c \cdot |x - y|$$

Es importante notar que esta desigualdad es válida para todo $n \in \mathbb{N}$ y para cualquier par de puntos $x, y$ en el intervalo. Esto significa que la sucesión de funciones es equicontinua (específicamente, uniformemente Lipschitz).

3. Paso al límite

Ahora, mantenemos $x$ e $y$ fijos y hacemos tender $n$ al infinito.

Sabemos por hipótesis que la sucesión converge puntualmente, es decir:

$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \quad \text{y} \quad \lim_{n \to \infty} f_n(y) = f(y)$$

Tomando el límite en la desigualdad obtenida en el paso 2:

$$\lim_{n \to \infty} |f_n(x) - f_n(y)| \le \lim_{n \to \infty} (c \cdot |x - y|)$$

Como la función valor absoluto es continua, podemos meter el límite dentro:

$$|\lim_{n \to \infty} f_n(x) - \lim_{n \to \infty} f_n(y)| \le c \cdot |x - y|$$ $$|f(x) - f(y)| \le c \cdot |x - y|$$

4. Conclusión de Continuidad

La desigualdad $|f(x) - f(y)| \le c \cdot |x - y|$ nos dice que la función límite $f$ es Lipschitz continua con constante $c$.

Sabemos que toda función Lipschitz continua es uniformemente continua y, por tanto, continua.

Para verlo formalmente con la definición $\epsilon-\delta$:

• Sea $\epsilon > 0$.

• Elegimos $\delta = \frac{\epsilon}{c}$.

• Si $|x - y| < \delta$, entonces:

$$|f(x) - f(y)| \le c \cdot |x - y| < c \cdot \frac{\epsilon}{c} = \epsilon$$

Por lo tanto, $f$ es continua en $[a, b]$.

Q.E.D.