G7 - E7

Enunciado:

Sean $X, Y$ espacios métricos, y sea $(f_n)_{n \ge 1}$ una sucesión de funciones $f_n: X \to Y$ uniformemente continuas que converge uniformemente a una función $f: X \to Y$. Pruebe que $f$ es uniformemente continua.

Demostración:

Para probar que $f$ es uniformemente continua, debemos demostrar que para todo $\epsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ que depende solo de $\epsilon$ (y no de $x$), tal que si dos puntos $x, y$ están cerca, sus imágenes también lo están.

Usaremos el argumento conocido como "$\epsilon/3$" (épsilon tercios), aprovechando la desigualdad triangular.

1. Planteamiento:

Queremos probar que:

$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tal que } \forall x, y \in X, \quad d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$$

Donde $d_X$ y $d_Y$ son las métricas (distancias) en los espacios $X$ e $Y$ respectivamente.

2. Paso 1: Usar la Convergencia Uniforme

Como la sucesión $(f_n)$ converge uniformemente a $f$, sabemos que para cualquier $\epsilon' > 0$, existe un entero $N$ tal que la distancia entre $f_n(x)$ y $f(x)$ es menor que $\epsilon'$ para todo $x \in X$.

Elijamos $\epsilon' = \frac{\epsilon}{3}$.

Entonces, existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $x \in X$:

$$d_Y(f_N(x), f(x)) < \frac{\epsilon}{3}$$

Fijamos este $N$ específico para el resto de la prueba.

3. Paso 2: Usar la Continuidad Uniforme de $f_N$

Por hipótesis, cada función de la sucesión es uniformemente continua. En particular, la función $f_N$ (con el $N$ que fijamos en el paso anterior) es uniformemente continua.

Esto significa que para el valor $\frac{\epsilon}{3}$, existe un $\delta > 0$ tal que para cualquier par de puntos $x, y \in X$:

$$\text{Si } d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f_N(x), f_N(y)) < \frac{\epsilon}{3}$$

4. Paso 3: Combinar usando la Desigualdad Triangular

Ahora tomemos dos puntos cualesquiera $x, y \in X$ tales que $d_X(x, y) < \delta$. Queremos estimar la distancia entre $f(x)$ y $f(y)$.

Intercalamos los términos $f_N(x)$ y $f_N(y)$ usando la desigualdad triangular en el espacio métrico $Y$:

$$d_Y(f(x), f(y)) \le d_Y(f(x), f_N(x)) + d_Y(f_N(x), f_N(y)) + d_Y(f_N(y), f(y))$$

Analicemos cada término:

1. Primer término: $d_Y(f(x), f_N(x)) < \frac{\epsilon}{3}$ por la convergencia uniforme (Paso 1).

2. Segundo término: $d_Y(f_N(x), f_N(y)) < \frac{\epsilon}{3}$ por la continuidad uniforme de $f_N$ y porque $d_X(x,y) < \delta$ (Paso 2).

3. Tercer término: $d_Y(f_N(y), f(y)) < \frac{\epsilon}{3}$ por la convergencia uniforme (Paso 1, válido para cualquier punto, incluido $y$).

4. Conclusión:

Sumando las tres cotas:

$$d_Y(f(x), f(y)) < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon$$

Hemos encontrado un $\delta > 0$ tal que $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$.

Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua.

Q.E.D.