Enunciado

Sea $X$ un espacio métrico y sean $(f_n)_{n \geq 1}, (g_n)_{n \geq 1} : X \to \mathbb{R}$ dos sucesiones de funciones que convergen uniformemente a funciones $f, g : X \to \mathbb{R}$, respectivamente.
Probar que:
(a) La sucesión $(f_n + g_n)_{n \geq 1}$ converge uniformemente a $f + g$.
(b) Si ambas sucesiones están uniformemente acotadas, entonces $(f_n g_n)_{n \geq 1}$ converge uniformemente a $fg$.

a.

Dado $\mathcal{E}>0$, quiero ver que existe $n_{0}\in \mathbb{N}$ tal que:

$$|(f_{n}(x)+g_{n}(x)-(f(x)+g(x))|<\mathcal{E}\quad \forall n\geq n_{0},\forall x \in X$$

En efecto:

$$|(f_{n}(x)+g_{n}(x)-(f(x)+g(x))|=|(f_{n}(x)-f(x))+(g_{n}(x)-g(x))|\underset{ \text{des. triang.} }{ \leq }$$ $$\leq |f_{n}(x)-f(x)|+|g_{n}(x)-g(x)|$$

Por convergencia uniforme

b.

Como $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ y $( g_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ están acotadas uniformemente entonces:

$$\begin{array}{c} \:\exists\:K_{1}\:|\: |f_{n}(x)|<K_{1} & \forall x \in X, n \in \mathbb{N} \\ \:\exists\:K_{2}\:|\: |g_{n}(x)|<K_{2} & \forall x \in X, n \in \mathbb{N} \end{array}$$

Dado $\mathcal{E}>0$:

$$\begin{array}{c} |f_{n}.g_{n}-f.g|=|f_{n}.g_{n}-f.g+f.g_{n}-f.g_{n}|= \\ |g_{n}.(f_{n}-f)+f.(g_{n}-g)|\leq |g_{n}|.|f_{n}-f|+|f|.|g_{n}-g| \end{array}$$

Además:

$$|f|=|f+f_{n}-f_{n}|\leq |f_{n}-f|+|f_{n}|$$

Luego

$$|(f_{n}.g_{n})-f.g|<|g_{n}|.|f_{n}-f|+(|f_{n}-f|+|f_{n}|).|g_{n}-g|$$

Por convergencia uniforme:

• Existe $N_1$ tal que si $n \geq N_1$, entonces $|f_n - f| < \frac{\mathcal{E}}{2K_2}$ para todo $x \in X$.
• Existe $N_2$ tal que si $n \geq N_2$, entonces $|g_n - g| < \frac{\mathcal{E}}{2\left( K_1 + \frac{\mathcal{E}}{2.K_{2}} \right)}$ para todo $x \in X$.

Sea $N = \max(N_1, N_2)$. Para $n \geq N$, tenemos:

$$|f_n g_n - fg|=\underset{<K_{2}}{\underbrace{|g_{n}|}} \cdot \underset{<\frac{\mathcal{E}}{2K_{2}}}{\underbrace{|f_{n}-f|}}+(\underset{<K_{1}}{\underbrace{|f_{n}|}} +|f_{n}-f|) \cdot \underset{<\frac{\mathcal{E}}{2\left( K_{1}+\frac{\mathcal{E}}{2K_{2}} \right)}}{\underbrace{|g_{n}-g|}}$$ $$|f_n g_n - fg| < \cancel{ K_2 } \cdot \frac{\mathcal{E}}{2\cancel{ K_2 }} + \cancel{ \left( K_1 + \frac{\mathcal{E}}{2.K_{2}} \right) } \cdot \frac{\mathcal{E}}{2\cancel{ \left( K_1 + \frac{\mathcal{E}}{2K_{2}} \right) }} =\frac{\mathcal{E}}{2}+\frac{\mathcal{E}}{2}= \mathcal{E}.$$

Recapitulando me queda que

$$|f_{n}(x)\cdot g_{n}(x)-f(x)\cdot g(x)|<\mathcal{E}\quad \forall n\geq N,\forall x \in X$$

$\mathcal{E}$ era arbitrario. Entonces $( f_{n}\cdot g_{n} )_{n\geq1}$ converge uniformemente a $f\cdot g$.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$