G7 - E5

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Ejercicio 5

Función dada:

$$f_n: [0, 1] \to \mathbb{R}, \quad f_n(x) = \frac{nx^2}{1 + nx^2}$$

El ejercicio pide estudiar la convergencia puntual y uniforme tanto de la sucesión $(f_n)_{n \ge 1}$ como de la sucesión de sus derivadas $(f'_n)_{n \ge 1}$.

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1. Estudio de la sucesión $(f_n)_{n \ge 1}$

a) Convergencia Puntual

Analizamos el límite de $f_n(x)$ cuando $n \to \infty$ para un $x$ fijo en el intervalo $[0, 1]$.

• Caso $x = 0$:

$$f_n(0) = \frac{n(0)^2}{1 + n(0)^2} = \frac{0}{1} = 0$$

Por lo tanto, $\lim_{n \to \infty} f_n(0) = 0$.

• Caso $x \in (0, 1]$:

  Como $x \neq 0$, entonces $x^2 > 0$. Podemos dividir el numerador y el denominador por $n$:

$$f_n(x) = \frac{nx^2}{1 + nx^2} = \frac{x^2}{\frac{1}{n} + x^2}$$

Tomando el límite cuando $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{\frac{1}{n} + x^2} = \frac{x^2}{0 + x^2} = 1$$

Función límite puntual ($f$):

La sucesión converge puntualmente a la función $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ definida por:

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = 0 \\ 1 & \text{si } x \in (0, 1] \end{cases}$$

b) Convergencia Uniforme

Para determinar si la convergencia es uniforme, podemos usar una propiedad fundamental de las funciones continuas:

Teorema: Si una sucesión de funciones continuas converge uniformemente en un intervalo, entonces la función límite debe ser continua en dicho intervalo.

1. Cada función $f_n(x) = \frac{nx^2}{1+nx^2}$ es continua en todo $[0, 1]$ (es una función racional cuyo denominador $1+nx^2$ nunca se anula).

2. La función límite $f(x)$ que calculamos arriba es discontinua en $x = 0$ (tiene un salto de 0 a 1).

Conclusión:

Como el límite puntual no es continuo, la convergencia de $(f_n)_{n \ge 1}$ NO es uniforme.

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2. Estudio de la sucesión de derivadas $(f'_n)_{n \ge 1}$

Primero, calculemos la derivada $f'_n(x)$ usando la regla del cociente:

$$f'_n(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{nx^2}{1 + nx^2} \right)$$ $$f'_n(x) = \frac{(2nx)(1 + nx^2) - (nx^2)(2nx)}{(1 + nx^2)^2}$$ $$f'_n(x) = \frac{2nx + 2n^2x^3 - 2n^2x^3}{(1 + nx^2)^2} = \frac{2nx}{(1 + nx^2)^2}$$

a) Convergencia Puntual de $(f'_n)$

Analizamos el límite de $f'_n(x)$ para un $x$ fijo.

• Caso $x = 0$:

$$f'_n(0) = \frac{2n(0)}{(1+0)^2} = 0$$

• Caso $x \in (0, 1]$:

  Observamos el comportamiento cuando $n \to \infty$. El numerador crece como $n$ y el denominador crece como $n^2$ (pues $(nx^2)^2 = n^2x^4$).

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2nx}{(1 + nx^2)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2nx}{1 + 2nx^2 + n^2x^4} = 0$$

(El grado de $n$ en el denominador es mayor que en el numerador).

Conclusión:

La sucesión de derivadas converge puntualmente a la función nula:

$$g(x) = 0 \quad \forall x \in [0, 1]$$

b) Convergencia Uniforme de $(f'_n)$

Para que la convergencia sea uniforme, el "supremo de la distancia" debe tender a 0. Es decir, necesitamos verificar si:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sup_{x \in [0, 1]} |f'_n(x) - 0| \right) = 0$$

Busquemos el máximo de $f'_n(x) = \frac{2nx}{(1 + nx^2)^2}$ en $[0, 1]$.

Derivamos respecto a $x$ para hallar puntos críticos:

$$\frac{d}{dx} f'_n(x) = \frac{2n(1+nx^2)^2 - 2nx \cdot 2(1+nx^2) \cdot 2nx}{(1+nx^2)^4}$$

Igualamos el numerador a 0:

$$2n(1+nx^2) [ (1+nx^2) - 4nx^2 ] = 0$$ $$1 - 3nx^2 = 0 \implies x = \frac{1}{\sqrt{3n}}$$

Para $n$ suficientemente grande, este punto crítico $x_n = \frac{1}{\sqrt{3n}}$ está dentro del intervalo $[0, 1]$. Evaluamos la función en este máximo:

$$f'_n \left( \frac{1}{\sqrt{3n}} \right) = \frac{2n \cdot \frac{1}{\sqrt{3n}}}{\left(1 + n \cdot \frac{1}{3n}\right)^2} = \frac{\frac{2n}{\sqrt{3n}}}{(1 + 1/3)^2}$$ $$= \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{n} \cdot \frac{1}{(4/3)^2} = C \cdot \sqrt{n}$$

El valor máximo de la derivada crece proporcionalmente a $\sqrt{n}$. Por lo tanto:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sup_{x \in [0, 1]} |f'_n(x)| \right) = \lim_{n \to \infty} C\sqrt{n} = \infty \neq 0$$

Conclusión:

La convergencia de $(f'_n)_{n \ge 1}$ NO es uniforme.