G7 - E4

Ejercicio 4

Sea $X$ un conjunto y $B(X)$ el conjunto de funciones acotadas de $X$ en $\mathbb{R}$. Sea $(f_n)_{n \ge 1}$ una sucesión en $B(X)$.

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Parte (a)

Enunciado: Si $(f_n)_{n \ge 1}$ converge uniformemente a $f: X \to \mathbb{R}$, muestre que $f \in B(X)$. ¿Sigue valiendo esto si la convergencia es solamente puntual?

Demostración:

Queremos probar que la función límite $f$ es acotada.

1. Definición de convergencia uniforme: Dado que $f_n \to f$ uniformemente, para cualquier $\epsilon > 0$, existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \ge N$ y para todo $x \in X$:

$$|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$

2. Aplicación: Tomemos un valor fijo para $\epsilon$, por ejemplo, $\epsilon = 1$. Por la definición anterior, existe un $N_0$ tal que para todo $x \in X$:

$$|f_{N_0}(x) - f(x)| < 1$$

3. Desigualdad Triangular: Podemos escribir $|f(x)|$ de la siguiente manera:

$$|f(x)| = |f(x) - f_{N_0}(x) + f_{N_0}(x)|$$

Aplicando la desigualdad triangular ($|a+b| \le |a| + |b|$):

$$|f(x)| \le |f(x) - f_{N_0}(x)| + |f_{N_0}(x)|$$

4. Acotación: Sabemos que $|f(x) - f_{N_0}(x)| < 1$. Además, por hipótesis, cada $f_n$ pertenece a $B(X)$, lo que significa que $f_{N_0}$ es una función acotada. Por lo tanto, existe una constante $K > 0$ tal que $|f_{N_0}(x)| \le K$ para todo $x \in X$.

   Sustituyendo esto en la desigualdad:

$$|f(x)| < 1 + K$$

Como $1+K$ es una constante finita que no depende de $x$, concluimos que $f$ es acotada.

$$\therefore f \in B(X)$$

¿Sigue valiendo si la convergencia es solo puntual?

Respuesta: No, no sigue valiendo. Si la convergencia es solo puntual, el límite de una sucesión de funciones acotadas puede ser una función no acotada.

Contraejemplo:

• Sea $X = \mathbb{R}$.
• Definamos la sucesión $(f_n)$ como:

$$f_n(x) = \begin{cases} x & \text{si } |x| \le n \\ 0 & \text{si } |x| > n \end{cases}$$

• Cada $f_n$ es acotada (su valor absoluto nunca supera $n$). Por tanto, $f_n \in B(\mathbb{R})$.
• Para cualquier $x \in \mathbb{R}$ fijo, existe un $n$ suficientemente grande tal que $n > |x|$. A partir de ese momento, $f_n(x) = x$.
• Por lo tanto, la sucesión converge puntualmente a la función $f(x) = x$.
• Sin embargo, $f(x) = x$ no es acotada en $\mathbb{R}$.

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Parte (b)

Enunciado: Si $(f_n)_{n \ge 1}$ converge uniformemente en $X$, muestre que existe $M > 0$ tal que $|f_n(x)| \le M$ para todo $x \in X$ y todo $n \in \mathbb{N}$. (La sucesión es uniformemente acotada).

Demostración:

Queremos encontrar una cota $M$ que sirva para todas las funciones de la sucesión simultáneamente.

1. Convergencia Uniforme: Como $(f_n)$ converge uniformemente, sabemos por la parte (a) que la función límite $f$ es acotada. Sea $K_f$ la cota de $f$, tal que $|f(x)| \le K_f$ para todo $x \in X$.

2. Uso de $\epsilon = 1$: Por convergencia uniforme, existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que si $n \ge N$:

$$|f_n(x) - f(x)| < 1 \quad \forall x \in X$$

Usando la desigualdad triangular inversa para $n \ge N$:

$$|f_n(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x)| < 1 + K_f$$

Esto significa que todas las funciones desde $f_N, f_{N+1}, \dots$ están acotadas por la misma constante $1 + K_f$.

3. Considerando los primeros términos: Nos quedan por considerar las funciones anteriores al índice $N$: $f_1, f_2, \dots, f_{N-1}$. Como hay una cantidad finita de estas funciones y cada una es acotada (por hipótesis), sean $K_1, K_2, \dots, K_{N-1}$ sus respectivas cotas. Es decir, $|f_i(x)| \le K_i$ para $i = 1, \dots, N-1$.

4. Definición de M: Definimos $M$ como el máximo de todas estas cotas:

$$M = \max \{ K_1, K_2, \dots, K_{N-1}, 1 + K_f \}$$

5. Conclusión:

   • Si $n < N$, entonces $|f_n(x)| \le K_n \le M$.
   • Si $n \ge N$, entonces $|f_n(x)| < 1 + K_f \le M$.

   Por lo tanto, $|f_n(x)| \le M$ para todo $n \in \mathbb{N}$ y todo $x \in X$. La sucesión es uniformemente acotada.