G7 - E3

[!infobox] Ejercicio: Límite Puntual vs Uniforme (Casos Clásicos) Contexto: Sucesiones de Funciones. Enunciado:

1. Hallar límite puntual de $x^n$, $x^{-n}e^x$, $n^2 x (1-x^2)^n$, $x e^{-nx^2}$.
2. Probar uniformidad en subconjuntos específicos.
3. Determinar si hay uniformidad global. Clave Teórica:

• Uniformidad: Requiere que el "peor error" ($M_n = \sup |f_n - f|$) tienda a 0.
• Técnica: Derivar la función error $g(x) = |f_n(x) - f(x)|$ para encontrar su máximo $x_n$ y evaluar si $g(x_n) \to 0$.
• Discontinuidad: Si $f_n$ son continuas y $f$ discontinua, la convergencia NO puede ser uniforme.

Demostración Rigurosa:

(a) Límites Puntuales:

1. $f_n(x)=x^n, A=(-1,1]$. $\forall x \in (-1,1), x^n \to 0$. Para $x=1, 1^n \to 1$. Límite $f(x) = \chi_{\{1\}}(x)$ (0 salvo en 1).
2. $f_n(x)=x^{-n}e^x, A=(1, \infty)$. Fijando $x$, $x^n \to \infty$ y $e^x$ cte. $\lim = 0$.
3. $f_n(x)=n^2 x(1-x^2)^n, A=[0,1]$. Para $x \in (0,1)$, la base $q=(1-x^2) < 1$. Exponencial mata polinomio. $\lim = 0$.
4. $f_n(x)=xe^{-nx^2}, A=\mathbb{R}$. Si $x \neq 0$, $e^{-nx^2} \to 0$ muy rápido. $\lim = 0$.

(b) Uniformidad Local:

• Caso i en $(0, 1/2)$: $\sup_{x \in (0, 1/2)} |x^n - 0| = (1/2)^n \xrightarrow{n \to \infty} 0$. Uniforme.
• Caso ii en $[2, 5]$: Sea $n > 5$. $f_n'(x) = x^{-n-1}e^x(x-n)$. Para $x \in [2,5]$, $(x-n) < 0 \implies f_n'(x) < 0$. La función es decreciente. El máximo está en $x=2$. $M_n = f_n(2) = \frac{e^2}{2^n} \xrightarrow{n \to \infty} 0$. Uniforme.

(c) Uniformidad Global en A:

• i. (No): El límite puntual $f$ es discontinuo en 1, pero las $f_n$ son continuas. Contradicción con convergencia uniforme.
• ii. (No): $\lim_{x \to \infty} f_n(x) = \lim \frac{e^x}{x^n} = \infty$. La norma supremo no existe (es infinita).
• iii. (No): Derivando, el máximo está en $x_n \approx \frac{1}{\sqrt{2n}}$. Altura del pico: $f_n(x_n) \approx n^2 \frac{1}{\sqrt{2n}} e^{-1/2} \approx C \cdot n^{3/2} \to \infty$.
• iv. (SÍ): Derivando $xe^{-nx^2}$, máximo en $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n}}$. Altura del pico: $M_n = \frac{1}{\sqrt{2n}} e^{-1/2}$. $\lim_{n \to \infty} M_n = 0$. Uniforme en todo $\mathbb{R}$.

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Aquí tienes la resolución completa del ejercicio, siguiendo estrictamente los lineamientos de rigor didáctico y formalidad matemática.

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1. 💡 Idea para encarar el ejercicio

Este ejercicio es un clásico "tour" por las patologías de la convergencia de funciones. La estrategia visual es imaginar la gráfica de $f_n(x)$ moviéndose a medida que $n$ crece:

• Para (i) $x^n$: Imagina una cuerda atada en $(0,0)$ y $(1,1)$. Al aumentar $n$, la panza de la cuerda cae hacia el eje $x$, pero el punto final se queda clavado en 1. Esa "rotura" en el límite sugiere falta de convergencia uniforme global.
• Para (ii) $x^{-n}e^x$: Es una lucha de titanes. $x^n$ intenta aplastar la función a 0, pero $e^x$ intenta dispararla al infinito. Puntualmente (x fijo), gana el $n$ del exponente. Pero globalmente (si $x$ se mueve), $e^x$ siempre gana en el infinito, arruinando la convergencia uniforme.
• Para (iii) y (iv) ("Lomas"): Ambas son funciones con una "loma" o pico cerca del origen. La clave es calcular la altura de ese pico usando derivadas.
  • En (iii), el pico crece ($n^2$ vs decaimiento). La loma se hace infinita $\to$ No uniforme.
  • En (iv), el pico decrece ($1/\sqrt{n}$). La loma se aplasta contra el piso $\to$ Uniforme.

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2. Explicación Paso a Paso

(a) Límite Puntual

El límite puntual se analiza fijando un $x \in A$ arbitrario y tomando $\lim_{n \to \infty} f_n(x)$.

i. $f_n(x) = x^n, \quad A = (-1, 1]$

• Si $x \in (-1, 1)$, sabemos que $|x| < 1$, por lo tanto $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$.
• Si $x = 1$, $f_n(1) = 1^n = 1$ para todo $n$, así que el límite es 1.
• Límite Puntual: $f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } -1 < x < 1 \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}$

ii. $f_n(x) = x^{-n}e^x = \frac{e^x}{x^n}, \quad A = (1, +\infty)$

• Fijamos $x > 1$. El numerador $e^x$ es un número constante (independiente de $n$). El denominador $x^n$ tiende a $+\infty$ (pues $x > 1$).
• $\lim_{n \to \infty} \frac{\text{cte}}{\infty} = 0$.
• Límite Puntual: $f(x) = 0$ para todo $x \in A$.

iii. $f_n(x) = n^2 x (1-x^2)^n, \quad A = [0, 1]$

• Si $x = 0$, $f_n(0) = 0$. Límite 0.
• Si $x = 1$, $f_n(1) = 0$. Límite 0.
• Si $x \in (0, 1)$, entonces $0 < 1-x^2 < 1$. Sea $r = 1-x^2$. Tenemos una sucesión de la forma $n^2 \cdot \text{constante} \cdot r^n$. La exponencial $r^n$ decrece a 0 mucho más rápido que el crecimiento polinómico de $n^2$.
• Límite Puntual: $f(x) = 0$ para todo $x \in A$.

iv. $f_n(x) = x e^{-nx^2}, \quad A = \mathbb{R}$

• Si $x = 0$, $f_n(0) = 0$.
• Si $x \neq 0$, entonces $x^2 > 0$. Sea $y = x^2$. El límite es $x \lim_{n \to \infty} \frac{1}{e^{ny}} = 0$.
• Límite Puntual: $f(x) = 0$ para todo $x \in A$.

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(b) Pruebas de Convergencia Uniforme en Subconjuntos

Para probar convergencia uniforme de $f_n \to f$ en un conjunto $S$, debemos demostrar que la sucesión de supremos $M_n = \sup_{x \in S} |f_n(x) - f(x)|$ tiende a 0 cuando $n \to \infty$.

Caso i: $f_n(x) = x^n$ sobre $S = (0, 1/2)$ Sabemos que $f(x) = 0$ en este intervalo.

$$M_n = \sup_{x \in (0, 1/2)} |x^n - 0| = \sup_{x \in (0, 1/2)} x^n$$

Como $x \mapsto x^n$ es estrictamente creciente para $x>0$, el supremo se alcanza en el extremo derecho del intervalo (o su límite).

$$M_n = (1/2)^n = \frac{1}{2^n}$$

Dado que $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$, la convergencia es uniforme en $(0, 1/2)$.

Caso ii: $f_n(x) = x^{-n}e^x$ sobre $S = [2, 5]$ Sabemos que $f(x) = 0$. Buscamos $M_n = \sup_{x \in [2, 5]} \frac{e^x}{x^n}$. Analizamos la derivada respecto a $x$ para encontrar el máximo:

$$f_n'(x) = \frac{e^x \cdot x^n - e^x \cdot n x^{n-1}}{(x^n)^2} = \frac{x^{n-1}e^x (x - n)}{x^{2n}} = x^{-n-1}e^x (x-n)$$

Los puntos críticos ocurren cuando $x = n$. Consideremos $n$ lo suficientemente grande, específicamente $n > 5$. Para todo $x \in [2, 5]$, tenemos que $x < n$, por lo tanto $(x-n)$ es negativo. Esto implica que $f_n'(x) < 0$ para todo $x$ en el intervalo $[2, 5]$. La función es estrictamente decreciente. El supremo se alcanza en el extremo izquierdo $x=2$:

$$M_n = f_n(2) = \frac{e^2}{2^n}$$

Como $e^2$ es constante y $2^n \to \infty$, $\lim_{n \to \infty} M_n = 0$. La convergencia es uniforme en $[2, 5]$.

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(c) Análisis de Convergencia Uniforme en todo el dominio A

Pregunta: ¿Es $M_n = \sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)| \xrightarrow{n \to \infty} 0$?

i. $f_n(x) = x^n$ en $A=(-1, 1]$ El límite puntual $f$ es discontinuo (0 en $(-1,1)$, 1 en $x=1$). Las funciones $f_n$ son continuas ($x^n$ es continuo). Teorema: Si una sucesión de funciones continuas converge uniformemente, la función límite debe ser continua. Como $f$ no es continua, la convergencia NO es uniforme sobre $A$.

ii. $f_n(x) = x^{-n}e^x$ en $A=(1, +\infty)$ Consideremos el comportamiento cuando $x \to +\infty$ para un $n$ fijo.

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad \text{(por órdenes de magnitud, exp gana a poli)}$$

Por lo tanto, $\sup_{x \in A} |f_n(x)| = +\infty$ para todo $n$. La convergencia NO es uniforme.

iii. $f_n(x) = n^2 x (1-x^2)^n$ en $A=[0, 1]$ Buscamos el máximo usando la derivada.

$$f_n'(x) = n^2 [ (1-x^2)^n + x \cdot n(1-x^2)^{n-1}(-2x) ]$$ $$f_n'(x) = n^2 (1-x^2)^{n-1} [ (1-x^2) - 2nx^2 ] = n^2 (1-x^2)^{n-1} [ 1 - (2n+1)x^2 ]$$

Punto crítico positivo: $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$. Evaluamos $f_n(x_n)$ para ver la altura del pico ("Loma"):

$$M_n = f_n(x_n) = n^2 \frac{1}{\sqrt{2n+1}} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)^n$$

Comportamiento asintótico cuando $n \to \infty$:

1. $\left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)^n \approx \left[ \left(1 - \frac{1}{2n}\right)^{2n} \right]^{1/2} \to e^{-1/2}$ (Acotado).
2. El factor delantero: $\frac{n^2}{\sqrt{2n+1}} \approx \frac{n^2}{n^{1/2}\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} n^{3/2}$. Como $n^{3/2} \to \infty$, entonces $M_n \to \infty$. La convergencia NO es uniforme.

iv. $f_n(x) = x e^{-nx^2}$ en $A=\mathbb{R}$ Derivamos para hallar el máximo del error:

$$f_n'(x) = 1 \cdot e^{-nx^2} + x \cdot e^{-nx^2}(-2nx) = e^{-nx^2}(1 - 2nx^2)$$

Punto crítico: $2nx^2 = 1 \implies x_n = \frac{1}{\sqrt{2n}}$. Evaluamos la altura máxima:

$$M_n = f_n\left(\frac{1}{\sqrt{2n}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2n}} e^{-n(\frac{1}{2n})} = \frac{1}{\sqrt{2n}} e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2en}}$$

Claramente, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2en}} = 0$. Por lo tanto, la convergencia SÍ es uniforme sobre $A = \mathbb{R}$.