G7 - E2

1. 💡 Idea para encarar el ejercicio

Este problema evalúa la diferencia crucial entre convergencia puntual (fijamos un $x$ y vemos qué pasa cuando $n \to \infty$) y convergencia uniforme (vemos si la función se acerca a su límite con la misma "velocidad" o "error máximo" para todos los puntos del dominio simultáneamente).

• Para el ítem (a): La función seno está acotada ("atrapada") entre -1 y 1. El factor $1/n$ aplasta esa oscilación hacia cero sin importar cuánto valga $x$. Aquí la intuición sugiere convergencia uniforme.
• Para el ítem (b): El argumento del seno es $x/n$. Si fijamos $x$, eventualmente $x/n$ es pequeño y el seno tiende a 0. Pero si $x$ es muy grande (se mueve con $n$), podemos hacer que $x/n$ sea lo que queramos (por ejemplo $\pi/2$), manteniendo el error grande. Esto sugiere que falla la uniformidad.
• Para los ítems (c) y (d): Ambos se reducen a estudiar la sucesión escalar $a_n = \frac{n}{n+1}$. La clave geométrica es que el dominio no es acotado (en c es todo el plano, en d es un espacio de funciones con norma no acotada). El "error" será proporcional al tamaño del vector o función. Como el tamaño no tiene techo, el error tampoco, impidiendo la convergencia uniforme.

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2. Explicación Paso a Paso

(a) $f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f_n(x) = \frac{1}{n} \sin(nx)$

Convergencia Puntual: Fijamos un $x_0 \in \mathbb{R}$ arbitrario. Queremos calcular $\lim_{n \to \infty} f_n(x_0)$. Utilizamos la propiedad de acotación del seno: $-1 \le \sin(nx_0) \le 1$. Multiplicando por $\frac{1}{n}$ (que es positivo para $n \ge 1$):

$$-\frac{1}{n} \le \frac{1}{n}\sin(nx_0) \le \frac{1}{n}$$

Tomando límite cuando $n \to \infty$, por el Teorema del Sándwich (o de Intercalación), como los extremos tienden a 0, la sucesión central converge a 0. $\therefore$ La función límite puntual es $f(x) = 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Convergencia Uniforme: Debemos analizar si $\lim_{n \to \infty} \left( \sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| \right) = 0$.

$$|f_n(x) - f(x)| = \left| \frac{1}{n}\sin(nx) - 0 \right| = \frac{1}{n}|\sin(nx)|$$

Como $|\sin(\alpha)| \le 1$ para todo argumento real:

$$\sup_{x \in \mathbb{R}} \left( \frac{1}{n}|\sin(nx)| \right) \le \frac{1}{n}$$

(De hecho, el supremo es exactamente $1/n$ alcanzado cuando $\sin(nx)=1$). Dado que $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, la sucesión converge uniformemente.

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(b) $f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f_n(x) = \sin\left(\frac{x}{n}\right)$

Convergencia Puntual: Fijamos $x_0 \in \mathbb{R}$.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{x_0}{n} = 0$$

Por la continuidad de la función seno en 0:

$$\lim_{n \to \infty} \sin\left(\frac{x_0}{n}\right) = \sin(0) = 0$$

$\therefore$ La función límite puntual es $f(x) = 0$.

Convergencia Uniforme: Analizamos el supremo de la diferencia:

$$M_n = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{x \in \mathbb{R}} \left| \sin\left(\frac{x}{n}\right) \right|$$

Dado que el dominio es todo $\mathbb{R}$, podemos elegir un $x$ que dependa de $n$ para maximizar el error. Sea $x_n = \frac{n\pi}{2}$.

$$|f_n(x_n) - 0| = \left| \sin\left( \frac{n\pi/2}{n} \right) \right| = \left| \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right| = 1$$

Por lo tanto, $\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x) - 0| = 1$ para todo $n$. Como el límite de esta sucesión de supremos es $1 \neq 0$, no converge uniformemente.

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(c) $f_n: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad f_n(x,y) = \frac{n}{n+1}(x,y)$

Convergencia Puntual: Sea $v = (x,y) \in \mathbb{R}^2$ fijo.

$$\lim_{n \to \infty} f_n(v) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} v = v \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 1/n} = v \cdot 1 = v$$

$\therefore$ La función límite es la identidad $f(x,y) = (x,y)$.

Convergencia Uniforme: Usamos la norma euclídea usual en $\mathbb{R}^2$, denotada $\| \cdot \|$.

$$\| f_n(v) - f(v) \| = \left\| \frac{n}{n+1}v - v \right\| = \left\| v \left( \frac{n}{n+1} - 1 \right) \right\|$$

Operando algebraicamente la fracción escalar: $\frac{n - (n+1)}{n+1} = \frac{-1}{n+1}$.

$$= \left\| v \cdot \frac{-1}{n+1} \right\| = \frac{1}{n+1} \|v\|$$

Buscamos el supremo sobre el dominio $\mathbb{R}^2$:

$$M_n = \sup_{v \in \mathbb{R}^2} \left( \frac{\|v\|}{n+1} \right)$$

Como $\|v\|$ no está acotada en $\mathbb{R}^2$ (podemos tomar vectores arbitrariamente grandes), $M_n = +\infty$. Por lo tanto, no converge uniformemente.

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(d) $f_n: C([0,1]) \to C([0,1]), \quad f_n(\varphi) = \frac{n}{n+1}\varphi$

Aquí el "punto" es una función $\varphi$. El espacio métrico es $X = (C([0,1]), d_\infty)$. La distancia $d_\infty(\psi, \eta) = \sup_{t \in [0,1]} |\psi(t) - \eta(t)| = \|\psi - \eta\|_\infty$.

Convergencia Puntual: Fijamos un elemento $\varphi \in C([0,1])$. Consideramos la sucesión de funciones en el espacio métrico.

$$d_\infty(f_n(\varphi), \varphi) = \left\| \frac{n}{n+1}\varphi - \varphi \right\|_\infty = \frac{1}{n+1} \|\varphi\|_\infty$$

Como $\varphi$ está fija, $\|\varphi\|_\infty$ es una constante $K \ge 0$.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{K}{n+1} = 0$$

$\therefore$ Converge puntualmente a la función identidad $f(\varphi) = \varphi$.

Convergencia Uniforme (sobre el espacio de funciones): Debemos ver si el supremo de las distancias tiende a 0 independientemente de $\varphi$.

$$M_n = \sup_{\varphi \in C([0,1])} d_\infty(f_n(\varphi), f(\varphi)) = \sup_{\varphi \in C([0,1])} \left( \frac{1}{n+1} \|\varphi\|_\infty \right)$$

El conjunto $C([0,1])$ contiene funciones con norma infinito arbitrariamente grande (por ejemplo, funciones constantes $\varphi(t) = k$ con $k \to \infty$). Por lo tanto, $\sup \|\varphi\|_\infty = +\infty$.

$$M_n = +\infty$$

La convergencia no es uniforme.