G7 - E1

[!infobox] Caracterización de la No Convergencia Uniforme Contexto: Análisis Real / Espacios Métricos / Sucesiones de Funciones Enunciado: Sea $A$ un conjunto y $(Y,d)$ un espacio métrico. Sea $f: A \to Y$ y $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de funciones. La sucesión $(f_n)$ no converge uniformemente a $f$ si y solo si existen $\alpha > 0$, una subsucesión $(f_{n_k})_{k \geq 1}$ y una sucesión de puntos $(a_k)_{k \geq 1} \subseteq A$ tales que:

$$d(f_{n_k}(a_k), f(a_k)) \geq \alpha, \quad \forall k \in \mathbb{N}$$

Advertencia/Clave: La clave de la demostración reside en la correcta negación lógica de los cuantificadores de la definición de convergencia uniforme $(\forall \epsilon \exists N \dots \to \exists \epsilon \forall N \dots)$.

$\boxed{\implies}$ (Ida) Hipótesis: $(f_n)_{n \geq 1}$ no converge uniformemente a $f$. Tesis: $\exists \alpha > 0, \exists (n_k)_{k \geq 1} \text{ (creciente)}, \exists (a_k)_{k \geq 1} \subseteq A$ tal que $d(f_{n_k}(a_k), f(a_k)) \geq \alpha$.

1. Negación de la definición: Recordemos que $f_n \rightrightarrows f$ se define como:

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq N, \forall x \in A, d(f_n(x), f(x)) < \epsilon$$

Negando la proposición (aplicando reglas de lógica de predicados $\neg \forall \equiv \exists$ y $\neg (P \implies Q) \equiv P \land \neg Q$):

$$\exists \epsilon_0 > 0 : \forall N \in \mathbb{N}, \exists n \geq N, \exists x \in A \text{ tales que } d(f_n(x), f(x)) \geq \epsilon_0$$

2. Definición de $\alpha$: Sea $\alpha = \epsilon_0$, donde $\epsilon_0$ es el valor cuya existencia garantiza el paso anterior.

3. Construcción inductiva de la subsucesión: Utilizaremos la propiedad $\forall N \in \mathbb{N}$ de la negación para seleccionar índices sucesivamente mayores.

   • Paso Base ($k=1$): Sea $N=1$. Por la negación, $\exists n_1 \geq 1$ y $\exists a_1 \in A$ tales que $d(f_{n_1}(a_1), f(a_1)) \geq \alpha$.
   • Paso Inductivo: Supongamos construidos $n_1 < n_2 < \dots < n_k$ y puntos $a_1, \dots, a_k$ que cumplen la condición. Sea $N = n_k + 1$. Invocando nuevamente la negación para este $N$, garantizamos la existencia de un índice $n^* \geq n_k + 1$ y un punto $x^* \in A$ tal que la distancia es $\geq \alpha$. Definimos $n_{k+1} = n^*$ y $a_{k+1} = x^*$.

   Por construcción, $n_{k+1} \geq n_k + 1 > n_k$, lo que asegura que $(n_k)_{k \geq 1}$ es estrictamente creciente y por tanto define una subsucesión válida $(f_{n_k})$. Además, $d(f_{n_k}(a_k), f(a_k)) \geq \alpha$ para todo $k$.

$\boxed{\impliedby}$ (Vuelta) Hipótesis: Existen $\alpha > 0$, una subsucesión $(f_{n_k})$ y puntos $(a_k) \subseteq A$ tales que $d(f_{n_k}(a_k), f(a_k)) \geq \alpha, \forall k$. Tesis: $f_n \not\rightrightarrows f$.

1. Criterio de divergencia: Para demostrar que $f_n$ no converge uniformemente a $f$, basta exhibir un $\epsilon > 0$ tal que para todo $N \in \mathbb{N}$, podamos encontrar un $n \geq N$ y un $x \in A$ que fallen la condición de cercanía.

2. Selección de parámetros: Tomamos $\epsilon = \alpha$. Sea $N \in \mathbb{N}$ arbitrario.

3. Existencia del índice problemático: La sucesión de índices $(n_k)_{k \geq 1}$ es una sucesión de números naturales estrictamente creciente. Por propiedad de sucesiones de naturales estrictamente crecientes (Propiedad Arquimediana implícita), $\lim_{k \to \infty} n_k = +\infty$. Por definición de límite al infinito, para el $N$ dado, existe un $K \in \mathbb{N}$ suficientemente grande tal que $n_K \geq N$.

4. Verificación de la desigualdad: Seleccionamos el índice $n = n_K$ (que cumple $n \geq N$) y el punto $x = a_K$. Por hipótesis inicial:

$$d(f_{n_K}(a_K), f(a_K)) \geq \alpha = \epsilon$$

Hemos demostrado que $\exists \epsilon > 0$ tal que $\forall N, \exists n \ge N, \exists x \in A$ con $d(f_n(x), f(x)) \ge \epsilon$.
$\therefore (f_n)$ no converge uniformemente a $f$.

Q.E.D.