G6-E9

[!infobox] Equivalencia de Definiciones de Norma de Operador Contexto: Análisis Funcional / Operadores Lineales Enunciado: Sea T:E→FT: E \to F un operador lineal continuo. Se verifica la igualdad de las siguientes expresiones para la norma ∥T∥\|T\|:

∥T∥=sup⁡∥x∥≤1∥Tx∥=sup⁡∥x∥=1∥Tx∥=sup⁡x≠0∥Tx∥∥x∥\|T\| = \sup_{\|x\| \le 1} \|Tx\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Tx\| = \sup_{x \ne 0} \frac{\|Tx\|}{\|x\|}

Advertencia/Clave: La igualdad se sostiene por la homogeneidad de la norma y la linealidad de TT. Geométricamente implica que el máximo estiramiento ocurre en la frontera de la bola unitaria.

Definimos los tres conjuntos de valores:

  1. M1=sup⁡{∥Tx∥F:x∈E,∥x∥E≤1}M_1 = \sup \{ \|Tx\|_F : x \in E, \|x\|_E \le 1 \}
  2. M2=sup⁡{∥Tx∥F:x∈E,∥x∥E=1}M_2 = \sup \{ \|Tx\|_F : x \in E, \|x\|_E = 1 \}
  3. M3=sup⁡{∥Tx∥F∥x∥E:x∈E,x≠0}M_3 = \sup \{ \frac{\|Tx\|_F}{\|x\|_E} : x \in E, x \ne 0 \}

Probaremos que M2≤M1≤M3≤M2M_2 \le M_1 \le M_3 \le M_2, lo que implica M1=M2=M3M_1 = M_2 = M_3.

(i) M2≤M1M_2 \le M_1 El conjunto {x∈E:∥x∥E=1}\{x \in E : \|x\|_E = 1\} está contenido en {x∈E:∥x∥E≤1}\{x \in E : \|x\|_E \le 1\}. Al tomar supremo sobre un conjunto más grande, el valor no puede disminuir.

∴sup⁡∥x∥=1∥Tx∥≤sup⁡∥x∥≤1∥Tx∥  ⟹  M2≤M1\therefore \sup_{\|x\|=1} \|Tx\| \le \sup_{\|x\|\le 1} \|Tx\| \implies M_2 \le M_1

(ii) M1≤M3M_1 \le M_3 Sea x∈Ex \in E tal que 0<∥x∥E≤10 < \|x\|_E \le 1. Podemos escribir:

∥Tx∥F=∥Tx∥F∥x∥E⋅∥x∥E\|Tx\|_F = \frac{\|Tx\|_F}{\|x\|_E} \cdot \|x\|_E

Por definición de supremo (M3M_3), sabemos que ∥Tx∥∥x∥≤M3\frac{\|Tx\|}{\|x\|} \le M_3. Por condición de la bola, ∥x∥E≤1\|x\|_E \le 1.

  ⟹  ∥Tx∥F≤M3⋅1=M3\implies \|Tx\|_F \le M_3 \cdot 1 = M_3

Si x=0x=0, ∥T(0)∥=0≤M3\|T(0)\| = 0 \le M_3 (asumiendo T≠0T \ne 0, si T=0T=0 es trivial). Tomando el supremo sobre todos los xx de la bola:

sup⁡∥x∥≤1∥Tx∥≤M3  ⟹  M1≤M3\sup_{\|x\|\le 1} \|Tx\| \le M_3 \implies M_1 \le M_3

(iii) M3≤M2M_3 \le M_2 Sea x∈E,x≠0x \in E, x \ne 0. Definimos el vector normalizado u=x∥x∥Eu = \frac{x}{\|x\|_E}. Notemos que ∥u∥E=1\|u\|_E = 1. Usando la linealidad (homogeneidad) de TT:

∥Tx∥F∥x∥E=∥T(x∥x∥E)∥F=∥T(u)∥F\frac{\|Tx\|_F}{\|x\|_E} = \left\| T\left(\frac{x}{\|x\|_E}\right) \right\|_F = \|T(u)\|_F

Como uu tiene norma 1, ∥Tu∥F≤sup⁡∥z∥=1∥Tz∥F=M2\|Tu\|_F \le \sup_{\|z\|=1} \|Tz\|_F = M_2. Entonces, para todo x≠0x \ne 0:

∥Tx∥∥x∥≤M2\frac{\|Tx\|}{\|x\|} \le M_2

Tomando supremo:

sup⁡x≠0∥Tx∥∥x∥≤M2  ⟹  M3≤M2\sup_{x \ne 0} \frac{\|Tx\|}{\|x\|} \le M_2 \implies M_3 \le M_2

Conclusión: De (i), (ii) y (iii) tenemos M2≤M1≤M3≤M2M_2 \le M_1 \le M_3 \le M_2. Por lo tanto, todas las expresiones son iguales. ■\blacksquare