[!infobox] Teorema de Caracterización de Operadores Lineales Continuos Contexto: Análisis Funcional / Operadores Lineales Enunciado: Sean $(E, \|\cdot\|_E)$ y $(F, \|\cdot\|_F)$ espacios normados y $T: E \to F$ un operador lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $T$ es continuo en el origen ($0_E$).
2. Existe al menos un punto $x_0 \in E$ donde $T$ es continuo.
3. $T$ es continuo en todo $E$.
4. $T$ es uniformemente continuo en $E$.
5. $T$ es un operador acotado ($\exists c>0 : \|Tx\|_F \le c\|x\|_E, \forall x \in E$).
6. $T$ transforma conjuntos acotados en conjuntos acotados (Si $A \subseteq E$ es acotado $\implies T(A)$ es acotado). Advertencia/Clave: La equivalencia "Continuidad $\iff$ Acotación" depende estrictamente de la linealidad. La clave de la demostración suele ser trasladar la continuidad del $0$ a todo el espacio usando $T(x-y) = Tx - Ty$.

Demostración Rigurosa:

La estrategia de la prueba será cerrar el ciclo de continuidades $(1) \implies (4) \implies (3) \implies (2) \implies (1)$ y luego conectar con la acotación $(1) \iff (5)$ y $(5) \iff (6)$.

---

Parte I: Ciclo de Continuidad

(1) $\implies$ (4): Continuidad en 0 implica Continuidad Uniforme Hipótesis: $T$ es continua en $0_E$. Tesis: $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tal que si $\|x - y\|_E < \delta \implies \|Tx - Ty\|_F < \epsilon$.

1. Sea $\epsilon > 0$ arbitrario.
2. Por hipótesis ($T$ continua en 0), existe un $\delta > 0$ tal que para todo vector $v \in E$:

$$\|v - 0_E\|_E < \delta \implies \|T(v) - T(0_E)\|_F < \epsilon$$

Como $T$ es lineal, $T(0_E)=0_F$, simplificando la implicación a:

$$\|v\|_E < \delta \implies \|T(v)\|_F < \epsilon \quad (*)$$

3. Sean $x, y \in E$ dos vectores cualesquiera tales que $\|x - y\|_E < \delta$.
4. Definimos $v = x - y$. Notemos que $\|v\|_E < \delta$.
5. Aplicamos la propiedad $(*)$:

$$\|T(x - y)\|_F < \epsilon$$

6. Usando la linealidad de $T$ ($T(x-y) = Tx - Ty$):

$$\|Tx - Ty\|_F < \epsilon$$

7. Conclusión: Hemos encontrado un $\delta$ que solo depende de $\epsilon$ (y de la continuidad en 0) y no de los puntos $x,y$ específicos. Por lo tanto, $T$ es uniformemente continua.

(4) $\implies$ (3): Uniformemente continua implica Continua Esto es una propiedad general de espacios métricos. Si $T$ es uniformemente continua en $E$, entonces es continua en cada punto $x \in E$ (basta tomar el mismo $\delta$ de la continuidad uniforme).

(3) $\implies$ (2): Continua en todo $E$ implica Continua en algún $x_0$ Trivial. Si vale para todo $x$, elegimos un $x_0$ arbitrario (por ejemplo $x_0 = 0$) y la afirmación se cumple.

(2) $\implies$ (1): Continua en $x_0$ implica Continua en 0 Hipótesis: Existe $x_0 \in E$ tal que si $z_n \to x_0 \implies T(z_n) \to T(x_0)$. Tesis: Si $v_n \to 0_E \implies T(v_n) \to 0_F$.

1. Sea $(v_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq E$ una sucesión tal que $v_n \to 0_E$.
2. Definimos la sucesión auxiliar $z_n = v_n + x_0$.
3. Por álgebra de límites, $\lim z_n = 0_E + x_0 = x_0$.
4. Por la hipótesis de continuidad en $x_0$:

$$\lim_{n \to \infty} T(z_n) = T(x_0)$$

5. Desarrollamos $T(z_n)$ usando linealidad:

$$T(v_n + x_0) = T(v_n) + T(x_0)$$

6. Tomamos límite:

$$\lim_{n \to \infty} (T(v_n) + T(x_0)) = T(x_0)$$ $$\left(\lim_{n \to \infty} T(v_n)\right) + T(x_0) = T(x_0)$$

7. Cancelando $T(x_0)$ a ambos lados:

$$\lim_{n \to \infty} T(v_n) = 0_F$$

$\therefore T$ es continua en 0.

---

Parte II: Conexión con Acotación

(1) $\iff$ (5): Continuidad en 0 equivale a ser Operador Acotado

• $(\Leftarrow)$ Si es Acotado $\implies$ Continuo en 0
  1. Hipótesis: $\exists c > 0$ tal que $\|Tx\| \le c\|x\|$ para todo $x$.
  2. Sea $(x_n)$ una sucesión tal que $x_n \to 0_E$ (es decir, $\|x_n\| \to 0$).
  3. Aplicamos norma y la hipótesis:

$$0 \le \|T(x_n)\| \le c \cdot \|x_n\|$$

4.  Como $\|x_n\| \to 0$, entonces $c\|x_n\| \to 0$.
5.  Por Teorema del Sándwich, $\|T(x_n)\| \to 0$, lo que implica $T(x_n) \to 0_F$.
6.  $\therefore T$ es continua en 0.

• $(\Rightarrow)$ Si es Continuo en 0 $\implies$ Acotado
  1. Hipótesis: $T$ es continua en 0. Usando la definición $\epsilon-\delta$ con $\epsilon = 1$.
  2. Existe un $\delta > 0$ tal que:

$$\text{Si } \|v\| \le \delta \implies \|Tv\| \le 1 \quad (**)$$

3.  Queremos acotar $\|Tx\|$ para **cualquier** $x \in E$. Sea $x \neq 0$.
4.  **Truco de escalado:** Construimos un vector que tenga norma $\delta$ para usar $(**)$.
    Sea $v = \delta \frac{x}{\|x\|}$.
    Claramente $\|v\| = \delta \left\| \frac{x}{\|x\|} \right\| = \delta \cdot 1 = \delta$.
5.  Como $\|v\| = \delta$, por $(**)$ sabemos que $\|Tv\| \le 1$.
6.  Usamos la linealidad (homogeneidad) en $v$:
    

$$\|Tv\| = \left\| T\left( \delta \frac{x}{\|x\|} \right) \right\| = \left\| \frac{\delta}{\|x\|} T(x) \right\| = \frac{\delta}{\|x\|} \|Tx\|$$

7.  Sustituimos en la desigualdad:
    

$$\frac{\delta}{\|x\|} \|Tx\| \le 1$$

8.  Despejamos $\|Tx\|$:
    

$$\|Tx\| \le \frac{1}{\delta} \|x\|$$

9.  Tomando $c = \frac{1}{\delta}$, tenemos que $\|Tx\| \le c\|x\|$ para todo $x \neq 0$ (y para $x=0$ es trivial).
10. $\therefore T$ es un operador acotado.

---

Parte III: Imágenes de Conjuntos Acotados

(5) $\iff$ (6): Acotado equivale a preservar conjuntos acotados

• $(\Rightarrow)$ Operador Acotado $\implies$ Imagen Acotada
  1. Hipótesis: $\|Tx\| \le c\|x\|$ para todo $x$.
  2. Sea $A \subseteq E$ un conjunto acotado. Por definición, existe $M > 0$ tal que $\|x\| \le M$ para todo $x \in A$.
  3. Sea $y \in T(A)$. Entonces $y = Tx$ para algún $x \in A$.
  4. Tomamos norma:

$$\|y\| = \|Tx\| \le c\|x\| \le c \cdot M$$

5.  Llamando $K = cM$, tenemos que $\|y\| \le K$ para todo $y \in T(A)$.
6.  $\therefore T(A)$ es un conjunto acotado.

• $(\Leftarrow)$ Imagen Acotada $\implies$ Operador Acotado
  1. Hipótesis: $T$ transforma conjuntos acotados en acotados.
  2. Consideramos el conjunto $A = \overline{B}(0, 1) = \{x \in E : \|x\| \le 1\}$. Este conjunto es acotado en $E$.
  3. Por hipótesis, $T(A)$ es un conjunto acotado en $F$.
  4. Esto significa que existe una constante $C > 0$ tal que $\|y\| \le C$ para todo $y \in T(A)$.
  5. Traducido a $T$:

$$\sup_{\|x\| \le 1} \|Tx\| \le C$$

6.  Esta es exactamente la definición de la norma del operador ($\|T\|_{op} \le C$), lo que implica que $T$ es acotado. $\blacksquare$

[!infobox] Demostración: Imágenes Acotadas $\implies$ Operador Acotado Contexto: Análisis Funcional / Teorema de Caracterización Objetivo: Probar que si un operador lineal $T$ transforma conjuntos acotados en conjuntos acotados, entonces $T$ es un operador acotado (continuo). Herramienta Clave: La Bola Unitaria $\overline{B}(0,1)$ y la definición de Norma de Operador.

Queremos probar que existe una constante $C$ tal que $\|Tx\| \le C\|x\|$ para todo $x$.

1. Hipótesis de Mapeo de Acotados: Asumimos que para todo subconjunto $A \subseteq E$ acotado, su imagen $T(A) \subseteq F$ también es acotada.

2. Elección Estratégica del Conjunto (La Bola): Consideramos el conjunto específico $A = \overline{B}_E(0, 1) = \{x \in E : \|x\| \le 1\}$. Justificación: Este conjunto es claramente acotado (su diámetro es 2). Por lo tanto, cumple con la condición para aplicar nuestra hipótesis.

3. Aplicación de la Hipótesis: Como $A$ es acotado, por el paso (1), el conjunto imagen $T(A) = \{Tx : \|x\| \le 1\}$ es un conjunto acotado en el espacio $F$.

4. Cota Numérica: Decir que un conjunto es acotado en un espacio normado significa que está contenido dentro de alguna bola grande. Por lo tanto, existe un número real $M > 0$ tal que:

$$\|y\|_F \le M \quad \forall y \in T(\overline{B}_E(0, 1))$$

Reescribiendo en términos de $T$:

$$\|Tx\|_F \le M \quad \text{para todo } x \text{ tal que } \|x\|_E \le 1 \quad (\star)$$

5. Conexión con la Norma del Operador: La definición de la norma de un operador es el supremo de la imagen de la bola unitaria:

$$\|T\|_{op} = \sup_{\|x\| \le 1} \|Tx\|$$

Por la desigualdad $(\star)$, sabemos que este supremo es menor o igual a $M$.

$$\|T\|_{op} \le M < \infty$$

*(Paso extra de generalización para cerrar la prueba)*:
Si $\|T\|_{op} \le M$, entonces por propiedad de la norma de operador, para cualquier $v \in E$:

$$\|Tv\| \le \|T\|_{op} \|v\| \le M \|v\|$$

$\therefore T$ es un operador acotado. $\blacksquare$

---

$(2)\implies{(1)}$

[!infobox] Continuidad en $x_0 \implies$ Continuidad en 0 (Vía $\epsilon-\delta$) Contexto: Análisis Funcional / Operadores Lineales Enunciado: Sea $T: E \to F$ un operador lineal. Si $T$ es continuo en un punto $x_0 \in E$, entonces $T$ es continuo en el origen $0_E$. Método: Demostración métrica (Epsilon-Delta) mediante traslación de vecindades.

Demostración Rigurosa:

(2) $\implies$ (1)

Hipótesis: $T$ es continua en $x_0$. Esto significa:

$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tal que } \forall z \in E : \|z - x_0\|_E < \delta \implies \|T(z) - T(x_0)\|_F < \epsilon \quad (*)$$

Tesis: $T$ es continua en $0_E$. Queremos probar que:

$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta' > 0 \text{ tal que } \forall v \in E : \|v - 0_E\|_E < \delta' \implies \|T(v) - T(0_E)\|_F < \epsilon$$

Desarrollo: Sea $\epsilon > 0$ arbitrario. Tomamos el mismo $\delta$ garantizado por la hipótesis de continuidad en $x_0$ (es decir, elegimos $\delta' = \delta$).

Sea $v \in E$ un vector tal que $\|v\|_E < \delta$.

1. Construcción del punto auxiliar: Definimos $z = v + x_0$. Evaluamos la distancia entre $z$ y $x_0$:

$$\|z - x_0\|_E = \|(v + x_0) - x_0\|_E = \|v\|_E$$

2. Activación de la Hipótesis: Como $\|v\|_E < \delta$, entonces $\|z - x_0\|_E < \delta$. Por la propiedad $(*)$, esto implica:

$$\|T(z) - T(x_0)\|_F < \epsilon$$

3. Uso de la Linealidad: Sustituimos $z$ y aplicamos la linealidad de $T$:

$$\|T(v + x_0) - T(x_0)\|_F < \epsilon$$ $$\|T(v) + T(x_0) - T(x_0)\|_F < \epsilon$$ $$\|T(v)\|_F < \epsilon$$

Conclusión: Hemos demostrado que $\|v\|_E < \delta \implies \|T(v)\|_F < \epsilon$. Dado que $T(0_E) = 0_F$, esto equivale a $\|T(v) - T(0)\|_F < \epsilon$. $\therefore T$ es continua en 0. $\blacksquare$