G6-E5

[!infobox] Equivalencia de Normas en Polinomios (Finito vs Infinito) Contexto: Análisis Funcional / Espacios de Banach Enunciado:

1. En el espacio de polinomios de grado acotado $\mathbb{R}_n[t]$, las normas $\|\cdot\|_\infty$ y $\|\cdot\|_1$ son equivalentes y el espacio es Banach.
2. En el espacio de todos los polinomios $\mathbb{R}[t]$, estas normas no son equivalentes y el espacio no es completo con la norma $\|\cdot\|_1$. Advertencia/Clave: La equivalencia de normas es una propiedad exclusiva de la dimensión finita. La constante de equivalencia $C_n$ depende de la dimensión $n$; si $n \to \infty$, la constante no está acotada.

Demostración Rigurosa:

(a) y (b) Caso Dimensión Finita ($n$ fijo):

Sea $V = \mathbb{R}_n[t]$. La base canónica es $\mathcal{B} = \{1, t, \dots, t^n\}$, por lo tanto $\dim(V) = n+1 < \infty$.

1. Completitud: Por teorema, todo espacio vectorial normado de dimensión finita es completo. $\therefore (\mathbb{R}_n[t], \|\cdot\|_\infty)$ y $(\mathbb{R}_n[t], \|\cdot\|_1)$ son espacios de Banach.

2. Equivalencia: Por teorema, cualesquiera dos normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes. $\therefore \exists a_n, b_n > 0$ tales que $\forall p \in \mathbb{R}_n[t]$:

$$a_n \|p\|_1 \leq \|p\|_\infty \leq b_n \|p\|_1$$

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(c) Caso Dimensión Infinita ($\mathbb{R}[t]$):

Queremos demostrar que las normas no son equivalentes en $\mathbb{R}[t]$. Procedemos por reducción al absurdo. Supongamos que son equivalentes. Entonces, existe una constante $C > 0$ tal que para todo $p \in \mathbb{R}[t]$:

$$\|p\|_\infty \leq C \|p\|_1$$

Consideremos la sucesión de polinomios $p_k(t) = t^k$ con $k \in \mathbb{N}$.

1. Cálculo de Norma Infinito: Dado que $t \in [0,1]$, la función $t^k$ es creciente.

$$\|p_k\|_\infty = \sup_{t \in [0,1]} |t^k| = 1^k = 1$$

2. Cálculo de Norma 1:

$$\|p_k\|_1 = \int_0^1 |t^k| \, dt = \int_0^1 t^k \, dt = \left[ \frac{t^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \frac{1}{k+1}$$

3. Contradicción: Sustituyendo en la desigualdad de equivalencia supuesta:

$$1 \leq C \cdot \frac{1}{k+1} \implies k+1 \leq C$$

Esta desigualdad debe valer para todo $k \in \mathbb{N}$. Sin embargo, el lado izquierdo tiende a infinito mientras que $C$ es fijo. Absurdo.

$\therefore$ Las normas no son equivalentes en $\mathbb{R}[t]$.

Análisis de la "Contradicción": No existe contradicción con el ítem (b). El ítem (b) asegura la existencia de constantes $a_n, b_n$ para cada espacio $\mathbb{R}_n[t]$. Lo que demuestra (c) es que la sucesión de constantes $b_n$ tiende a infinito cuando $n \to \infty$ (de hecho, acabamos de ver que $b_n \ge n+1$), por lo que no existe una cota uniforme para todos los grados simultáneamente. $\blacksquare$