G6-E3

[!infobox] Convergencia de Medias de Cesàro en Espacios Normados Contexto: Análisis Funcional / Espacios Normados Enunciado: Sea $(E, \|\cdot\|)$ un espacio normado. Si $x_n \to x_0$, entonces la sucesión de medias aritméticas $y_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k$ también converge a $x_0$. Advertencia/Clave: La clave de la demostración es la partición de la suma en una "cabeza" constante y una "cola" controlada por $\epsilon$, usando la desigualdad triangular.

Demostración:

Queremos probar que $\lim_{n \to \infty} \|y_n - x_0\| = 0$.

Sea $\epsilon > 0$ arbitrario.

1. Manipulación Algebraica: Escribimos la diferencia entre la media $y_n$ y el límite $x_0$:

$$y_n - x_0 = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k - \frac{n x_0}{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (x_k - x_0)$$

2. Acotación por Desigualdad Triangular: Tomamos la norma y aplicamos la desigualdad triangular y la homogeneidad de la norma:

$$\|y_n - x_0\| = \left\| \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (x_k - x_0) \right\| \leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \|x_k - x_0\|$$

3. Control de la Convergencia (La "Cola"): Como $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$, por definición de límite, existe un $N_1 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $k > N_1$:

$$\|x_k - x_0\| < \frac{\epsilon}{2}$$

4. Partición de la Suma: Para $n > N_1$, dividimos la suma en dos partes (hasta $N_1$ y desde $N_1+1$):

$$\|y_n - x_0\| \leq \frac{1}{n}\underbrace{\sum_{k=1}^{N_1} \|x_k - x_0\|}_{S_1 \text{ (fijo)}} + \frac{1}{n}\underbrace{\sum_{k=N_1+1}^n \|x_k - x_0\|}_{S_2 \text{ (pequeño)}}$$

Analicemos el segundo término ($S_2$):

$$\frac{1}{n}\sum_{k=N_1+1}^n \|x_k - x_0\| < \frac{1}{n} \sum_{k=N_1+1}^n \frac{\epsilon}{2} = \frac{n - N_1}{n} \frac{\epsilon}{2}$$

Dado que $\frac{n - N_1}{n} < 1$, tenemos:

$$\frac{1}{n} S_2 < \frac{\epsilon}{2}$$

5. Control de la Constante (La "Cabeza"): Sea $K = \sum_{k=1}^{N_1} \|x_k - x_0\|$. Notemos que $K$ es un número real fijo y finito (no depende de $n$). Como $\lim_{n \to \infty} \frac{K}{n} = 0$, existe un $N_2 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n > N_2$:

$$\frac{K}{n} < \frac{\epsilon}{2}$$

6. Conclusión: Tomando $N_0 = \max\{N_1, N_2\}$. Para todo $n > N_0$, combinamos las cotas de los pasos 4 y 5:

$$\|y_n - x_0\| \leq \frac{K}{n} + \frac{1}{n}\sum_{k=N_1+1}^n \|x_k - x_0\| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

Por lo tanto, $\lim_{n \to \infty} y_n = x_0$. $\blacksquare$