G6-E2

Contexto: Sea EE un espacio normado (un espacio vectorial equipado con una norma ∥⋅∥\|\cdot\|).

Definimos:

  • Bola abierta: B(x,r)={y∈E:∥y−x∥<r}B(x, r) = \{y \in E : \|y - x\| < r\}

  • Bola cerrada: Bˉ(x,r)={y∈E:∥y−x∥≤r}\bar{B}(x, r) = \{y \in E : \|y - x\| \le r\}

Parte (a): La clausura de la bola abierta

Enunciado: Si x∈Ex \in E y r>0r > 0, pruebe que B(x,r)‾=Bˉ(x,r)\overline{B(x,r)} = \bar{B}(x,r).

Demostración:

Para probar la igualdad de dos conjuntos A=BA = B, debemos demostrar la doble inclusión: A⊆BA \subseteq B y B⊆AB \subseteq A.

1. Inclusión Directa (B(x,r)‾⊆Bˉ(x,r)\overline{B(x,r)} \subseteq \bar{B}(x,r)):

  • Sabemos que la bola cerrada Bˉ(x,r)\bar{B}(x,r) es un conjunto cerrado. Esto se debe a que la función distancia dx(y)=∥y−x∥d_x(y) = \|y-x\| es continua, y la bola cerrada es la preimagen del conjunto cerrado [0,r][0, r].

  • Por definición, B(x,r)⊆Bˉ(x,r)B(x,r) \subseteq \bar{B}(x,r).

  • La clausura de un conjunto, denotada B(x,r)‾\overline{B(x,r)}, es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a B(x,r)B(x,r).

  • Como Bˉ(x,r)\bar{B}(x,r) es un conjunto cerrado que ya contiene a la bola abierta, necesariamente debe contener a su clausura.

∴B(x,r)‾⊆Bˉ(x,r)\therefore \overline{B(x,r)} \subseteq \bar{B}(x,r)
  1. Inclusión Recíproca (Bˉ(x,r)⊆B(x,r)‾\bar{B}(x,r) \subseteq \overline{B(x,r)}):

Sea y∈Bˉ(x,r)y \in \bar{B}(x,r). Queremos probar que yy está en la clausura de la bola abierta. Esto significa que podemos aproximar yy tanto como queramos mediante puntos de la bola abierta.

  • Caso 1: Si ∥y−x∥<r\|y - x\| < r, entonces y∈B(x,r)y \in B(x,r), y trivialmente está en su clausura.

  • Caso 2: Si ∥y−x∥=r\|y - x\| = r (está en el borde).

    Consideremos la sucesión de puntos que se acercan a yy desde el centro xx:

yn=x+(1−1n)(y−x)y_n = x + \left(1 - \frac{1}{n}\right)(y - x) 
Calculamos la distancia de $y_n$ al centro $x$:
∥yn−x∥=∥(1−1n)(y−x)∥=∣1−1n∣∥y−x∥\|y_n - x\| = \left\| \left(1 - \frac{1}{n}\right)(y - x) \right\| = \left|1 - \frac{1}{n}\right| \|y - x\| 
Como $n \ge 1$, el escalar es positivo y menor que 1. Como $\|y-x\| = r$:
∥yn−x∥=(1−1n)r<r\|y_n - x\| = \left(1 - \frac{1}{n}\right)r < r 
Esto implica que cada punto $y_n$ pertenece a la bola abierta $B(x,r)$.

Ahora vemos el límite de la sucesión:
lim⁡n→∞yn=x+1⋅(y−x)=y\lim_{n \to \infty} y_n = x + 1 \cdot (y - x) = y 
Como $y$ es límite de una sucesión contenida en $B(x,r)$, entonces $y \in \overline{B(x,r)}$.

Conclusión:

B(x,r)‾=Bˉ(x,r)\overline{B(x,r)} = \bar{B}(x,r)

Parte (b): El Diámetro

Enunciado: diam(B(x,r))=2r\text{diam}(B(x,r)) = 2r.

Definición: El diámetro de un conjunto AA es sup⁡{∥u−v∥:u,v∈A}\sup \{ \|u - v\| : u, v \in A \}.

Demostración:

  1. Cota superior (≤2r\le 2r):

Sean u,vu, v dos puntos cualesquiera en la bola abierta B(x,r)B(x,r).

Por la desigualdad triangular:

∥u−v∥=∥(u−x)−(v−x)∥≤∥u−x∥+∥v−x∥\|u - v\| = \|(u - x) - (v - x)\| \le \|u - x\| + \|v - x\|

Como u,v∈B(x,r)u, v \in B(x,r), sabemos que ∥u−x∥<r\|u - x\| < r y ∥v−x∥<r\|v - x\| < r.

∥u−v∥<r+r=2r\|u - v\| < r + r = 2r

Dado que esto vale para cualquier par de puntos, el supremo de estas distancias debe ser menor o igual a 2r2r.

diam(B(x,r))≤2r\text{diam}(B(x,r)) \le 2r
  1. Cota inferior (≥2r\ge 2r):

Necesitamos mostrar que podemos encontrar puntos en la bola cuya distancia esté arbitrariamente cerca de 2r2r.

Asumimos que el espacio EE no es trivial (tiene vectores no nulos). Sea vv un vector unitario (∥v∥=1\|v\|=1).

Consideremos dos puntos alineados con el centro en direcciones opuestas, pero ligeramente "metidos" hacia adentro para asegurar que estén en la bola abierta. Sea ϵ>0\epsilon > 0 muy pequeño (0<ϵ<r0 < \epsilon < r).

Definimos:

y=x+(r−ϵ)vy = x + (r - \epsilon)v z=x−(r−ϵ)vz = x - (r - \epsilon)v

Verificamos que están en la bola:

∥y−x∥=r−ϵ<r  ⟹  y∈B(x,r)\|y - x\| = r - \epsilon < r \implies y \in B(x,r) ∥z−x∥=r−ϵ<r  ⟹  z∈B(x,r)\|z - x\| = r - \epsilon < r \implies z \in B(x,r)

Calculamos la distancia entre ellos:

∥y−z∥=∥(x+(r−ϵ)v)−(x−(r−ϵ)v)∥=∥2(r−ϵ)v∥=2(r−ϵ)∥v∥=2r−2ϵ\|y - z\| = \|(x + (r - \epsilon)v) - (x - (r - \epsilon)v)\| = \|2(r - \epsilon)v\| = 2(r - \epsilon)\|v\| = 2r - 2\epsilon

El diámetro es el supremo de las distancias, por lo tanto:

diam≥2r−2ϵ\text{diam} \ge 2r - 2\epsilon

Como esto es cierto para todo ϵ>0\epsilon > 0, tomando el límite ϵ→0\epsilon \to 0:

diam(B(x,r))≥2r\text{diam}(B(x,r)) \ge 2r

Conclusión:

diam(B(x,r))=2r\text{diam}(B(x,r)) = 2r

Parte (c): Convexidad

Enunciado: Si y,z∈B(x,r)y, z \in B(x,r), entonces para todo t∈[0,1]t \in [0, 1], ty+(1−t)z∈B(x,r)ty + (1-t)z \in B(x,r). (Toda bola es convexa).

Demostración:

Queremos ver que el segmento de línea que une dos puntos de la bola se mantiene dentro de la bola.

Sean y,z∈B(x,r)y, z \in B(x,r). Esto significa que:

∥y−x∥<ry∥z−x∥<r\|y - x\| < r \quad \text{y} \quad \|z - x\| < r

Sea w=ty+(1−t)zw = ty + (1-t)z un punto en el segmento que une yy con zz. Queremos calcular su distancia al centro xx.

Truco algebraico: escribimos xx como una combinación convexa de sí mismo: x=tx+(1−t)xx = tx + (1-t)x.

∥w−x∥=∥(ty+(1−t)z)−(tx+(1−t)x)∥\|w - x\| = \| (ty + (1-t)z) - (tx + (1-t)x) \|

Agrupamos los términos con tt y con (1−t)(1-t):

∥w−x∥=∥t(y−x)+(1−t)(z−x)∥\|w - x\| = \| t(y - x) + (1-t)(z - x) \|

Aplicamos la desigualdad triangular de la norma:

∥w−x∥≤∥t(y−x)∥+∥(1−t)(z−x)∥\|w - x\| \le \|t(y - x)\| + \|(1-t)(z - x)\|

Por la propiedad de homogeneidad de la norma (∥αv∥=∣α∣∥v∥\|\alpha v\| = |\alpha|\|v\|):

∥w−x∥≤∣t∣∥y−x∥+∣1−t∣∥z−x∥\|w - x\| \le |t| \|y - x\| + |1 - t| \|z - x\|

Como t∈[0,1]t \in [0, 1], entonces ∣t∣=t|t| = t y ∣1−t∣=1−t|1 - t| = 1 - t. Además, usamos las desigualdades estrictas ∥y−x∥<r\|y-x\| < r y ∥z−x∥<r\|z-x\| < r:

∥w−x∥<t⋅r+(1−t)⋅r\|w - x\| < t \cdot r + (1 - t) \cdot r

Sacamos factor común rr:

∥w−x∥<r(t+1−t)=r⋅1=r\|w - x\| < r (t + 1 - t) = r \cdot 1 = r

Conclusión:

Como ∥w−x∥<r\|w - x\| < r, entonces w∈B(x,r)w \in B(x,r).

Por lo tanto, la bola abierta es un conjunto convexo.