G6-E13

[!infobox] Compacidad en $\ell^2$ y Funcionales Continuas Contexto: Espacios de Hilbert / Análisis Funcional Enunciado: Sea $\ell^2$ el espacio de sucesiones de cuadrado sumable.

1. La bola cerrada unitaria $\overline{B}(0,1)$ no es compacta.
2. La funcional $\gamma(a) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}$ es lineal y continua. Advertencia/Clave: En dimensión infinita, las bolas cerradas nunca son compactas (Teorema de Riesz). Para probar la continuidad de funcionales tipo "suma ponderada" en $\ell^2$, la herramienta estándar es Cauchy-Schwarz, verificando primero que la sucesión de pesos pertenezca a $\ell^2$.

(a) No Compacidad de la Bola Unitaria

Procedemos demostrando que la bola no es secuencialmente compacta.

1. Selección de la Sucesión: Consideremos la base ortonormal canónica $(e_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \ell^2$, donde $e_n$ tiene un 1 en la posición $n$ y 0 en el resto. Claramente, $\|e_n\|_2 = 1$, por lo que la sucesión está contenida en $\overline{B}(0,1)$.

2. Propiedad Métrica (Distancia Discreta): Sean $n, m \in \mathbb{N}$ con $n \neq m$. Calculamos la distancia:

$$\|e_n - e_m\|_2 = \left( \sum_{k=1}^\infty |(e_n)_k - (e_m)_k|^2 \right)^{1/2} = \sqrt{|1|^2 + |-1|^2} = \sqrt{2}$$

3. Argumento de Subsucesiones: Supongamos que existiera una subsucesión convergente $(e_{n_k})_{k}$. Toda sucesión convergente es de Cauchy. Sin embargo, para esta subsucesión:

$$\|e_{n_j} - e_{n_k}\|_2 = \sqrt{2} \quad \forall j \neq k$$

Esto contradice la definición de sucesión de Cauchy (la distancia no tiende a 0).
$\therefore$ No existe subsucesión convergente, luego $\overline{B}(0,1)$ no es compacta.

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(b) Continuidad de la Funcional $\gamma$

Queremos probar que $\gamma$ es acotada.

1. Definición Vectorial: Sea $z = (z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la sucesión dada por $z_n = \frac{1}{n}$. Podemos escribir $\gamma(a) = \sum_{n=1}^\infty a_n z_n$.

2. Pertenencia al Espacio Dual: Verificamos que $z \in \ell^2$.

$$\|z\|_2^2 = \sum_{n=1}^\infty \left|\frac{1}{n}\right|^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$

Esta es una serie-p con $p=2 > 1$, por lo tanto es convergente. Sea $C = \|z\|_2 < \infty$.

3. Aplicación de Cauchy-Schwarz: Sea $a \in \ell^2$. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz para el producto interno estándar en $\ell^2$:

$$|\gamma(a)| = \left| \sum_{n=1}^\infty a_n z_n \right| \le \left(\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2\right)^{1/2} \left(\sum_{n=1}^\infty |z_n|^2\right)^{1/2}$$

Sustituyendo las normas:

$$|\gamma(a)| \le \|a\|_2 \cdot \|z\|_2 = C \|a\|_2$$

4. Conclusión: Dado que existe una constante $C$ (independiente de $a$) tal que $|\gamma(a)| \le C \|a\|_2$, la funcional lineal $\gamma$ es acotada. Por el teorema de caracterización (Acotado $\iff$ Continuo), $\gamma$ es continua. $\blacksquare$