G6-E12

[!infobox] Discontinuidad del Operador Derivada en R[t]\mathbb{R}[t] Contexto: Análisis Funcional / Operadores No Acotados Enunciado: Sea R[t]\mathbb{R}[t] el espacio de polinomios con la norma infinito ∥p∥∞=max⁡t∈[0,1]∣p(t)∣\|p\|_\infty = \max_{t \in [0,1]} |p(t)|. Sea δ:R[t]→R[t]\delta: \mathbb{R}[t] \to \mathbb{R}[t] el operador derivada δ(p)=p′\delta(p) = p'. Pruebe que δ\delta es lineal pero no es continuo. Advertencia/Clave: En dimensión infinita, hay operadores lineales que no son continuos. La derivada es el ejemplo por excelencia: funciones pequeñas pueden tener pendientes arbitrariamente grandes.

(a) Linealidad

Sean p,q∈R[t]p, q \in \mathbb{R}[t] y α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}. Por las propiedades de la derivación en una variable real:

δ(αp+βq)(t)=ddt(αp(t)+βq(t))=αddtp(t)+βddtq(t)=α(δp)(t)+β(δq)(t)\delta(\alpha p + \beta q)(t) = \frac{d}{dt}(\alpha p(t) + \beta q(t)) = \alpha \frac{d}{dt}p(t) + \beta \frac{d}{dt}q(t) = \alpha (\delta p)(t) + \beta (\delta q)(t)

Por lo tanto, δ(αp+βq)=αδp+βδq\delta(\alpha p + \beta q) = \alpha \delta p + \beta \delta q. ∴δ\therefore \delta es un operador lineal.

(b) Discontinuidad (No Acotación)

Para demostrar que δ\delta no es continuo, basta probar que no es un operador acotado. Es decir, demostraremos que para todo M>0M > 0, existe un polinomio pp tal que ∥δp∥∞>M∥p∥∞\|\delta p\|_\infty > M \|p\|_\infty.

  1. Selección de la Sucesión de Prueba: Consideremos la sucesión de polinomios (pn)n∈N(p_n)_{n \in \mathbb{N}} definida por pn(t)=tnp_n(t) = t^n.

  2. Cálculo de la Norma del Polinomio: Dado que t∈[0,1]t \in [0,1], la función tnt^n es creciente y positiva.

∥pn∥∞=sup⁡t∈[0,1]∣tn∣=1n=1\|p_n\|_\infty = \sup_{t \in [0,1]} |t^n| = 1^n = 1
  1. Cálculo de la Imagen y su Norma: Calculamos la derivada:
(δpn)(t)=ntn−1(\delta p_n)(t) = n t^{n-1} 
Calculamos la norma infinito de la derivada en $[0,1]$:
∥δpn∥∞=sup⁡t∈[0,1]∣ntn−1∣=n⋅1n−1=n\|\delta p_n\|_\infty = \sup_{t \in [0,1]} |n t^{n-1}| = n \cdot 1^{n-1} = n
  1. Análisis del Cociente de Acotación: Consideremos el cociente entre la norma de la imagen y la norma del vector:
∥δpn∥∞∥pn∥∞=n1=n\frac{\|\delta p_n\|_\infty}{\|p_n\|_\infty} = \frac{n}{1} = n 
Dado que $\lim_{n \to \infty} n = +\infty$, el conjunto de cocientes $\{\frac{\|\delta p\|}{\|p\|} : p \neq 0\}$ no está acotado superiormente.
Esto implica que no existe ninguna constante $C$ tal que $\|\delta p\| \le C\|p\|$ para todo $p$.

∴δ\therefore \delta no es un operador acotado, y por ende, no es continuo. ■\blacksquare

[!infobox] Discontinuidad del Operador Derivada en R[t]\mathbb{R}[t] Contexto: Análisis Funcional / Operadores No Acotados
Enunciado: Sea R[t]\mathbb{R}[t] el espacio de polinomios reales con la norma infinito

∥p∥∞=max⁡t∈[0,1]∣p(t)∣.\|p\|_\infty = \max_{t \in [0,1]} |p(t)|.

Sea δ:R[t]→R[t]\delta : \mathbb{R}[t] \to \mathbb{R}[t] el operador derivada definido por δ(p)=p′\delta(p)=p'.
Probar que δ\delta es lineal pero no es continuo.

(a) Linealidad

Sean p,q∈R[t]p,q \in \mathbb{R}[t] y α,β∈R\alpha,\beta \in \mathbb{R}.
Usando la linealidad de la derivación en una variable real, se tiene:

δ(αp+βq)=(αp+βq)′=αp′+βq′=αδp+βδq.\delta(\alpha p + \beta q) = (\alpha p + \beta q)' = \alpha p' + \beta q' = \alpha \delta p + \beta \delta q.

Por lo tanto,

δ(αp+βq)=αδp+βδq,\delta(\alpha p + \beta q) = \alpha \delta p + \beta \delta q,

y concluimos que δ\delta es un operador lineal.

Observación clave: continuidad y acotación

Para operadores lineales entre espacios normados vale la equivalencia:

δ es continua   ⟺  δ es continua en 0  ⟺  ∃C>0 tal que ∥δp∥∞≤C∥p∥∞ ∀p.\delta \text{ es continua } \iff \delta \text{ es continua en } 0 \iff \exists C>0 \text{ tal que } \|\delta p\|_\infty \le C \|p\|_\infty \ \forall p.

Por lo tanto, para probar que δ\delta no es continua, basta demostrar que no es acotada.

(b) No acotación del operador derivada

Paso 1: elección de una sucesión de prueba

Consideremos la sucesión de polinomios

pn(t)=tn,n∈N.p_n(t) = t^n, \qquad n \in \mathbb{N}.

Paso 2: norma de pnp_n

Para t∈[0,1]t \in [0,1], la función t↦tnt \mapsto t^n es continua, positiva y creciente. Por lo tanto,

∥pn∥∞=max⁡t∈[0,1]tn=1n=1.\|p_n\|_\infty = \max_{t \in [0,1]} t^n = 1^n = 1.

Paso 3: imagen por la derivada y su norma

Derivando obtenemos

δpn(t)=pn′(t)=ntn−1.\delta p_n(t) = p_n'(t) = n t^{n-1}.

Nuevamente, como tn−1t^{n-1} es creciente en [0,1][0,1], el máximo se alcanza en t=1t=1 y

∥δpn∥∞=max⁡t∈[0,1]ntn−1=n.\|\delta p_n\|_\infty = \max_{t \in [0,1]} n t^{n-1} = n.

Paso 4: cociente de normas

Consideramos el cociente

∥δpn∥∞∥pn∥∞=n1=n.\frac{\|\delta p_n\|_\infty}{\|p_n\|_\infty} = \frac{n}{1} = n.

Dado que

lim⁡n→∞n=+∞,\lim_{n \to \infty} n = +\infty,

este cociente no está acotado superiormente. En consecuencia, no existe ninguna constante C>0C>0 tal que

∥δp∥∞≤C∥p∥∞∀p∈R[t].\|\delta p\|_\infty \le C \|p\|_\infty \quad \forall p \in \mathbb{R}[t].

Luego, δ\delta no es un operador acotado y, por lo tanto, no es continuo.

(c) Prueba alternativa: discontinuidad en el origen

Definimos

qn(t)=tnn.q_n(t) = \frac{t^n}{n}.

Entonces

∥qn∥∞=1n→n→∞0,\|q_n\|_\infty = \frac{1}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0,

es decir, qn→0q_n \to 0 en la norma infinito.

Sin embargo,

δqn(t)=tn−1,\delta q_n(t) = t^{n-1},

y por lo tanto

∥δqn∥∞=max⁡t∈[0,1]tn−1=1∀n.\|\delta q_n\|_\infty = \max_{t \in [0,1]} t^{n-1} = 1 \quad \forall n.

Luego, δqn↛0\delta q_n \not\to 0, lo que demuestra que δ\delta no es continua en 00.
Como el operador es lineal, esto implica que no es continuo en ningún punto.

Conclusión

El operador derivada δ:R[t]→R[t]\delta : \mathbb{R}[t] \to \mathbb{R}[t] es lineal pero no acotado.
Por la equivalencia entre acotación y continuidad para operadores lineales, concluimos que δ\delta no es continuo.

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