G6-E1

Definición de Norma

Sea $V$ un espacio vectorial real (en este caso $V = \mathbb{R}^n$). Una función $\|\cdot\|: V \to \mathbb{R}$ es una norma si satisface las siguientes tres propiedades para todo $x, y \in V$ y todo escalar $\alpha \in \mathbb{R}$:

1. Positividad (o Separación): $\|x\| \ge 0$, y $\|x\| = 0$ si y solo si $x = 0$ (el vector cero).

2. Homogeneidad: $\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|$.

3. Desigualdad Triangular: $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$.

A continuación, probamos estas propiedades para cada caso. Denotaremos $x = (x_1, \dots, x_n)$ y $y = (y_1, \dots, y_n)$.

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1. La Norma 1 (o norma de la suma)

Definida como: $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$.

Demostración:

1. Positividad:

   • Como el valor absoluto $|x_i| \ge 0$ para todo $i$, la suma $\sum |x_i| \ge 0$.

   • Si $\|x\|_1 = 0$, entonces $\sum_{i=1}^n |x_i| = 0$. Como es una suma de términos no negativos, cada término debe ser cero: $|x_i| = 0 \implies x_i = 0$ para todo $i$. Por lo tanto, $x = 0$.

2. Homogeneidad:

$$\|\alpha x\|_1 = \sum_{i=1}^n |\alpha x_i| = \sum_{i=1}^n |\alpha| |x_i| = |\alpha| \sum_{i=1}^n |x_i| = |\alpha| \|x\|_1$$

3. Desigualdad Triangular:

   Usamos la desigualdad triangular del valor absoluto en $\mathbb{R}$ ($|a+b| \le |a|+|b|$).

$$\|x + y\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i + y_i| \le \sum_{i=1}^n (|x_i| + |y_i|)$$

Por propiedad asociativa de la suma finita:

$$= \sum_{i=1}^n |x_i| + \sum_{i=1}^n |y_i| = \|x\|_1 + \|y\|_1$$

Conclusión: $\|\cdot\|_1$ es una norma.

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2. La Norma Infinito (o norma del máximo)

Definida como: $\|x\|_\infty = \max_{1 \le i \le n} |x_i|$.

Demostración:

1. Positividad:

   • El máximo de valores no negativos es no negativo: $\|x\|_\infty \ge 0$.

   • Si $\max |x_i| = 0$, entonces $|x_i| = 0$ para todo $i$ (pues si alguno fuera positivo, el máximo sería positivo). Por tanto, $x = 0$.

2. Homogeneidad:

$$\|\alpha x\|_\infty = \max_i |\alpha x_i| = \max_i (|\alpha| |x_i|)$$

Como $|\alpha|$ es una constante no negativa, sale fuera del máximo:

$$= |\alpha| \max_i |x_i| = |\alpha| \|x\|_\infty$$

3. Desigualdad Triangular:

   Para cualquier índice $k$, tenemos $|x_k + y_k| \le |x_k| + |y_k|$.

   Sabemos que $|x_k| \le \max_i |x_i| = \|x\|_\infty$ y $|y_k| \le \|y\|_\infty$.

   Sumando estas desigualdades:

$$|x_k + y_k| \le \|x\|_\infty + \|y\|_\infty$$

Como esto es cierto para todo índice $k$ (incluido aquel donde se alcanza el máximo de la suma), entonces:

$$\max_k |x_k + y_k| \le \|x\|_\infty + \|y\|_\infty$$ $$\|x + y\|_\infty \le \|x\|_\infty + \|y\|_\infty$$

Conclusión: $\|\cdot\|_\infty$ es una norma.

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3. La Norma 2 (Norma Euclidiana)

Definida como: $\|x\|_2 = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}$.

Demostración:

1. Positividad:

   • La suma de cuadrados es no negativa, y su raíz cuadrada también.

   • Si $\sqrt{\sum x_i^2} = 0$, entonces $\sum x_i^2 = 0$. Al ser cuadrados reales, esto implica $x_i^2 = 0 \implies x_i = 0$ para todo $i$.

2. Homogeneidad:

$$\|\alpha x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n (\alpha x_i)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n \alpha^2 x_i^2} = \sqrt{\alpha^2 \sum_{i=1}^n x_i^2}$$ $$= \sqrt{\alpha^2} \sqrt{\sum x_i^2} = |\alpha| \|x\|_2$$

3. Desigualdad Triangular:

   Esta propiedad para la norma 2 se conoce como la Desigualdad de Minkowski. Para probarla, es fundamental usar la Desigualdad de Cauchy-Schwarz:

$$\left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \|x\|_2 \|y\|_2$$

Analicemos el cuadrado de la norma de la suma:

$$(\|x + y\|_2)^2 = \sum_{i=1}^n (x_i + y_i)^2 = \sum (x_i^2 + 2x_i y_i + y_i^2)$$ $$= \sum x_i^2 + 2 \sum x_i y_i + \sum y_i^2$$ $$= (\|x\|_2)^2 + 2 \sum x_i y_i + (\|y\|_2)^2$$

Aplicando Cauchy-Schwarz ($\sum x_i y_i \le |\sum x_i y_i| \le \|x\|_2 \|y\|_2$):

$$\le (\|x\|_2)^2 + 2 \|x\|_2 \|y\|_2 + (\|y\|_2)^2$$

Reconocemos esto como un trinomio cuadrado perfecto:

$$= (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2$$

Tomando raíz cuadrada a ambos lados (la función raíz cuadrada es creciente):

$$\|x + y\|_2 \le \|x\|_2 + \|y\|_2$$

Conclusión: $\|\cdot\|_2$ es una norma.

Para visualizar cómo se comportan estas normas, es útil ver sus "bolas unitarias" (el conjunto de puntos con norma $\le 1$) en $\mathbb{R}^2$.

• La norma 1 forma un rombo (diamante).

• La norma 2 forma un círculo clásico.

• La norma infinito forma un cuadrado.