G5-Ej.9

[!infobox] Teorema: Distancia entre Compacto y Cerrado Contexto: Espacios Métricos / Topología. Enunciado: Si $A$ es un conjunto compacto, $B$ es un conjunto cerrado y son disjuntos ($A \cap B = \emptyset$), entonces la distancia entre ellos es estrictamente positiva ($\hat{d}(A, B) > 0$). Advertencia/Clave: Esto falla si $A$ es solo cerrado (no compacto). Pueden haber cerrados disjuntos con distancia cero (ver contraejemplo abajo).

Demostración Formal

Queremos probar que $\hat{d}(A, B) = \inf \{ d(a, b) : a \in A, b \in B \} > 0$.

1. Definición de la función auxiliar Definimos la función $f: A \to \mathbb{R}$ como la distancia de un punto al conjunto $B$:

$$f(x) = d(x, B) = \inf_{b \in B} d(x, b)$$

Sabemos que la función "distancia a un conjunto" es siempre continua (de hecho, es 1-Lipschitz).

2. Uso de la compacidad (Weierstrass) Dado que $f$ es continua y su dominio $A$ es compacto, el Teorema de Weierstrass garantiza que $f$ alcanza su mínimo absoluto en algún punto $a_0 \in A$. Es decir:

$$\exists a_0 \in A \text{ tal que } f(a_0) \leq f(x) \quad \forall x \in A$$

Esto implica que la distancia entre los conjuntos es igual a la distancia desde ese punto específico $a_0$ hasta $B$:

$$\hat{d}(A, B) = \inf_{x \in A} d(x, B) = f(a_0) = d(a_0, B)$$

3. Conclusión usando que $B$ es cerrado Como $A$ y $B$ son disjuntos, $a_0 \notin B$. Dado que $B$ es un conjunto cerrado, su complemento $B^c$ es abierto. Como $a_0 \in B^c$, existe un radio $r > 0$ tal que la bola abierta $B(a_0, r)$ no toca a $B$. Esto significa que $d(a_0, B) \geq r > 0$.

Por lo tanto:

$$\hat{d}(A, B) > 0 \quad \blacksquare$$

[!infobox] Lema: Separación por Bola Abierta y Distancia Contexto: Espacios Métricos (Justificación de paso lógico). Enunciado: Si un conjunto $B$ es disjunto de una bola abierta centrada en $a_0$ con radio $r$ (es decir, $B(a_0, r) \cap B = \emptyset$), entonces la distancia de $a_0$ al conjunto $B$ es al menos $r$. Clave: La negación de "estar en la bola ($< r$)" es "estar fuera o en el borde ($\geq r$)".

Demostración del Paso

Queremos justificar formalmente por qué $d(a_0, B) \geq r$.

1. Hipótesis: Sabemos que la bola no toca al conjunto:

$$B(a_0, r) \cap B = \emptyset$$

Esto implica que ningún punto de $B$ pertenece a la bola.

2. Análisis punto a punto: Sea $b \in B$ un punto cualquiera del conjunto. Como $b \in B$ y la intersección es vacía, necesariamente $b \notin B(a_0, r)$.

3. Traducción a distancias: Recordemos la definición de la bola abierta:

$$x \in B(a_0, r) \iff d(a_0, x) < r$$

Al negar esta proposición (para los puntos que **no** están en la bola), la desigualdad se invierte:

$$x \notin B(a_0, r) \iff d(a_0, x) \geq r$$

Aplicando esto a nuestro punto $b$:

$$d(a_0, b) \geq r$$

4. Conclusión (Ínfimo): Hemos probado que para todo $b \in B$, la distancia $d(a_0, b) \geq r$. Por propiedades del ínfimo (la mayor cota inferior), si todos los elementos de un conjunto son mayores o iguales a $r$, su ínfimo también debe serlo:

$$d(a_0, B) = \inf \{ d(a_0, b) : b \in B \} \geq r$$

Como $r > 0$, concluimos que la distancia es estrictamente positiva.