G5-Ej.8

[!infobox] Teorema: Realización de la Distancia a un Compacto Contexto: Espacios Métricos / Topología (Análisis Real). Enunciado: Sea $(E, d)$ un espacio métrico, $K \subseteq E$ un subconjunto compacto no vacío y $x \in E$ un punto fijo. Entonces, existe un punto $y_0 \in K$ tal que $d(x, y_0) = d(x, K)$. Clave: La función distancia es Lipschitz-continua y todo funcional continuo sobre un compacto alcanza sus extremos (Weierstrass).

Demostración Formal

1. Definición de la función objetivo Definimos la distancia de un punto $x$ al conjunto $K$ como el ínfimo de las distancias:

$$d(x, K) := \inf \{ d(x, y) : y \in K \}$$

Consideremos la función auxiliar $f: K \to \mathbb{R}$ definida por $f(y) = d(x, y)$ para un $x$ fijo.

2. Justificación de la continuidad (Propiedad de Lipschitz) Debemos probar que $f$ es continua en $K$. Sean $a, b \in K$ dos puntos cualesquiera. Por la desigualdad triangular de la métrica $d$, tenemos:

$$d(x, a) \leq d(x, b) + d(b, a)$$ $$d(x, a) - d(x, b) \leq d(a, b)$$

Intercambiando los roles de $a$ y $b$, obtenemos análogamente:

$$d(x, b) - d(x, a) \leq d(b, a) = d(a, b)$$

Combinando ambas desigualdades, llegamos a la Desigualdad Triangular Inversa:

$$|d(x, a) - d(x, b)| \leq d(a, b)$$

Esto demuestra que:

$$|f(a) - f(b)| \leq d(a, b)$$

Por lo tanto, $f$ es una función Lipschitz continua (con constante $L=1$), lo cual implica necesariamente que $f$ es continua.

3. Aplicación del Teorema de Weierstrass Disponemos de las siguientes hipótesis:

1. La función $f: K \to \mathbb{R}$ es continua (demostrado en el paso 2).
2. El dominio $K$ es un espacio métrico compacto (por hipótesis).

El Teorema de los Valores Extremos (Generalización de Weierstrass) establece que una función real continua definida sobre un compacto alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos dentro del conjunto. En consecuencia, el conjunto imagen $f(K) \subseteq \mathbb{R}$ es compacto (cerrado y acotado), por lo que contiene a su ínfimo.

4. Conclusión Existe al menos un elemento $y_0 \in K$ tal que:

$$f(y_0) = \min_{y \in K} f(y)$$

Dado que el mínimo de un conjunto es igual a su ínfimo cuando el mínimo pertenece al conjunto:

$$f(y_0) = \inf_{y \in K} f(y) = \inf \{ d(x, y) : y \in K \}$$

Sustituyendo la definición de $d(x, K)$:

$$d(x, y_0) = d(x, K)$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \blacksquare$$