G5-Ej.7

[!infobox] Teorema: Unión Finita de Compactos Contexto: Espacios Topológicos / Métricos. Enunciado: La unión de una familia finita de conjuntos compactos es compacta. Advertencia: Esto no vale para uniones infinitas (ver contraejemplo abajo).

Demostración 1: Vía Cubrimientos (Heine-Borel)

Esta es la demostración estándar en topología general.

Hipótesis: Sean $K_1, K_2, \dots, K_n$ conjuntos compactos. Tesis: $K = \bigcup_{i=1}^n K_i$ es compacto.

Paso 1: Tomar un cubrimiento arbitrario Sea $\mathcal{U} = \{U_\alpha\}_{\alpha \in A}$ un cubrimiento por abiertos de la unión $K$.

$$K \subseteq \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha$$

Paso 2: Restringir a cada conjunto individual Como $K_i \subseteq K$, el mismo cubrimiento $\mathcal{U}$ también cubre a cada conjunto individual $K_i$.

$$K_i \subseteq \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha \quad \text{para cada } i=1, \dots, n$$

Paso 3: Usar la compacidad individual Como cada $K_i$ es compacto, podemos extraer un subcubrimiento finito para cada uno.

• Para $K_1$, existe una subcolección finita $\mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{U}$ que lo cubre.
• Para $K_2$, existe una subcolección finita $\mathcal{F}_2 \subseteq \mathcal{U}$ que lo cubre.
• ...
• Para $K_n$, existe una subcolección finita $\mathcal{F}_n \subseteq \mathcal{U}$ que lo cubre.

Paso 4: Unificar los subcubrimientos Definimos la familia total $\mathcal{F}$ como la unión de estas familias finitas:

$$\mathcal{F} = \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup \dots \cup \mathcal{F}_n$$

Observamos que:

1. Es finito: La unión finita de conjuntos finitos es finita.
2. Cubre todo: Como $\mathcal{F}_i$ cubre a $K_i$, entonces la unión de todas cubre a la unión de los $K_i$.

$$\bigcup_{U \in \mathcal{F}} U \supseteq \bigcup_{i=1}^n K_i = K$$

$\therefore$ Hemos encontrado un subcubrimiento finito $\mathcal{F}$ del cubrimiento original. $K$ es compacto.

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Demostración 2: Vía Secuencial (Bolzano-Weierstrass)

Útil en espacios métricos.

Paso 1: Sucesión en la unión Sea $(x_m)_{m \in \mathbb{N}} \subseteq K$ una sucesión cualquiera. Como $K = K_1 \cup \dots \cup K_n$, cada término $x_m$ pertenece a alguno de los $K_i$.

Paso 2: Principio del Palomar (Pigeonhole Principle) Tenemos infinitos términos ($m \in \mathbb{N}$) y una cantidad finita de "cajas" ($K_1, \dots, K_n$). Necesariamente, debe existir al menos un conjunto, digamos $K_{j_0}$, que contenga infinitos términos de la sucesión.

Paso 3: Extracción de subsucesión Podemos extraer una subsucesión $(x_{m_k})$ que esté totalmente contenida en ese conjunto específico $K_{j_0}$.

$$(x_{m_k}) \subseteq K_{j_0}$$

Paso 4: Convergencia Como $K_{j_0}$ es compacto, esta subsucesión tiene a su vez una subsucesión convergente $(x_{m_{k_p}})$ que converge a un punto $x \in K_{j_0}$.

Paso 5: Conclusión Como $x \in K_{j_0}$ y $K_{j_0} \subseteq K$, entonces $x \in K$. Hemos hallado una subsucesión convergente en $K$. $\therefore K$ es compacto.

[!danger] Contraejemplo: Unión Infinita Si la familia no es finita, el teorema falla. Sea $K_n = [0, 1 - 1/n]$ en $\mathbb{R}$. Cada uno es cerrado y acotado (compacto). Pero su unión es:

$$\bigcup_{n=1}^\infty K_n = [0, 1)$$

El intervalo $[0, 1)$ no es cerrado (no contiene al 1), por lo tanto no es compacto.