G5-Ej.6

[!infobox] Ejercicio: Compacidad en la Métrica Discreta Contexto: Sea $(E, d)$ un espacio métrico discreto, donde:

$$d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{si } x=y \\ 1 & \text{si } x \neq y \end{cases}$$

Teorema: Un subconjunto $K \subseteq E$ es compacto $\iff K$ es finito.

Demostración 1: Vía Cubrimientos (Heine-Borel)

Esta es la demostración más directa y elegante.

$(\Longleftarrow)$ Finito implica Compacto

Esta es una propiedad general de cualquier espacio topológico. Si $K = \{x_1, \dots, x_n\}$ es finito, cualquier cubrimiento por abiertos contiene una cantidad finita de conjuntos que cubren cada punto $x_i$. La unión de esos conjuntos es un subcubrimiento finito. (Trivial).

$(\implies)$ Compacto implica Finito

Supongamos que $K$ es un subconjunto compacto de $E$.

Paso 1: Construcción del Cubrimiento En la métrica discreta, el conjunto unitario $\{x\}$ es un conjunto abierto. Justificación: La bola abierta $B(x, 1/2)$ contiene solo a los puntos a distancia menor que $0.5$. Como la única distancia posible distinta de 0 es 1, entonces $B(x, 1/2) = \{x\}$.

Construimos el siguiente cubrimiento por abiertos de $K$:

$$\mathcal{U} = \{ \{x\} : x \in K \}$$

Es decir, cubrimos el conjunto usando sus propios puntos como conjuntos abiertos individuales. Claramente $K \subseteq \bigcup_{x \in K} \{x\}$.

Paso 2: Extracción del Subcubrimiento Como $K$ es compacto, por definición, el cubrimiento $\mathcal{U}$ admite un subcubrimiento finito. Esto significa que existe una colección finita de conjuntos de $\mathcal{U}$ que aún cubre a $K$.

$$\exists \{x_1\}, \{x_2\}, \dots, \{x_m\} \in \mathcal{U} \quad \text{tales que} \quad K \subseteq \bigcup_{i=1}^m \{x_i\}$$

Paso 3: Conclusión La unión de conjuntos unitarios es simplemente el conjunto de esos puntos:

$$K \subseteq \{ x_1, x_2, \dots, x_m \}$$

Esto implica que $K$ tiene, a lo sumo, $m$ elementos. $\therefore K$ es un conjunto finito.

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Demostración 2: Vía Secuencial (Bolzano-Weierstrass)

Usamos la caracterización: "Todo conjunto infinito en un espacio discreto no tiene puntos de acumulación".

Hipótesis: $K$ es compacto secuencialmente. Por reducción al absurdo: Supongamos que $K$ es infinito.

Paso 1: Sucesión de puntos distintos Como $K$ es infinito, podemos elegir una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq K$ tal que todos sus términos sean distintos ($x_n \neq x_m$ si $n \neq m$).

Paso 2: Análisis de convergencia En un espacio métrico discreto, una sucesión $(y_n)$ converge a $L$ si y solo si es eventualmente constante (existe $N$ tal que $\forall n \ge N, y_n = L$). Razón: Para $\epsilon = 1/2$, la distancia $d(y_n, L)$ debe ser menor que $1/2$. La única distancia menor a $1/2$ es 0, por tanto $y_n = L$.

Paso 3: Contradicción Consideremos cualquier subsucesión $(x_{n_k})$ de nuestra sucesión original.

• Como todos los términos de la original eran distintos, los términos de la subsucesión también son todos distintos.
• Una sucesión de términos distintos nunca se vuelve constante.
• Por lo tanto, ninguna subsucesión converge.

Esto contradice que $K$ sea compacto (pues debería tener una subsucesión convergente). $\therefore$ La suposición de que $K$ es infinito es falsa. $K$ debe ser finito.

[!done] Q.E.D.