G5-Ej.4

[!infobox] Teorema: Intersección de Cantor Generalizada Contexto: Espacios Métricos $(E, d)$. Enunciado: $E$ es compacto $\iff$ Toda sucesión decreciente de cerrados no vacíos tiene intersección no vacía. Notación: Decreciente significa $F_1 \supseteq F_2 \supseteq F_3 \dots$ (o $F_{n+1} \subseteq F_n$).

Demostración

Parte 1: $(\implies)$ Compacto implica Intersección

Hipótesis: $E$ es compacto. Datos: Sea $(F_n)_{n \ge 1}$ una sucesión de cerrados tal que $F_n \neq \emptyset$ y $F_{n+1} \subseteq F_n$. Objetivo: Probar que $\exists x \in \bigcap_{n \ge 1} F_n$.

Paso 1: Construcción de una sucesión "testigo" Como cada conjunto $F_n$ no es vacío, podemos elegir un punto $x_n$ dentro de cada uno.

$$x_n \in F_n \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

Obtenemos así una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $E$.

Paso 2: Uso de la compacidad Como $E$ es compacto (secuencialmente), la sucesión $(x_n)$ admite una subsucesión convergente.

$$\exists (x_{n_k}) \subseteq (x_n) \quad \text{tal que} \quad x_{n_k} \longrightarrow x \in E$$

Paso 3: El límite está en la intersección Queremos ver que $x$ pertenece a todos los conjuntos $F_m$. Fijemos un índice arbitrario $m \in \mathbb{N}$.

• La subsucesión de índices $n_k$ es creciente. Por lo tanto, existe un $K_0$ tal que para todo $k \ge K_0$, tenemos $n_k \ge m$.
• Como la familia de conjuntos es decreciente ($F_{n_k} \subseteq F_m$ si $n_k \ge m$), esto implica que:

$$x_{n_k} \in F_{n_k} \subseteq F_m \quad \text{para todo } k \text{ suficientemente grande}$$

Ahora tenemos una subsucesión $(x_{n_k})$ contenida (a partir de cierto punto) en $F_m$, que converge a $x$. Como $F_m$ es un conjunto cerrado, contiene a todos sus puntos límite.

$$\implies x \in F_m$$

Como esto vale para cualquier $m$ arbitrario:

$$x \in \bigcap_{m \ge 1} F_m \implies \text{La intersección no es vacía.}$$

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Parte 2: $(\Longleftarrow)$ Intersección implica Compacto

Hipótesis: Toda sucesión decreciente de cerrados no vacíos tiene intersección no vacía. Objetivo: Probar que $E$ es secuencialmente compacto (toda sucesión tiene subsucesión convergente).

Paso 1: Preparar la sucesión Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión arbitraria en $E$. Queremos encontrar un punto de acumulación (para extraer la subsucesión).

Paso 2: Construcción de "Colas Cerradas" Definimos los conjuntos $A_n$ como la "cola" de la sucesión a partir de $n$:

$$A_n = \{ x_k : k \ge n \} = \{ x_n, x_{n+1}, \dots \}$$

Y definimos $F_n$ como la clausura (cierre) de esa cola:

$$F_n = \overline{A_n}$$

Paso 3: Verificar hipótesis

1. No vacíos: $A_n$ tiene puntos, luego su clausura $F_n$ también.
2. Cerrados: Por definición de clausura, $F_n$ es cerrado.
3. Decrecientes: Claramente $A_{n+1} \subseteq A_n$ (tiene un punto menos). Al tomar clausuras, la contención se mantiene: $F_{n+1} \subseteq F_n$.

Paso 4: Aplicar la propiedad de intersección Por hipótesis, la intersección de estos cerrados no es vacía.

$$\exists x \in \bigcap_{n \ge 1} F_n$$

Paso 5: Extraer la subsucesión ¿Qué significa que $x \in \overline{A_n}$ para todo $n$? Significa que $x$ está arbitrariamente cerca de la cola de la sucesión.

• Para $n=1$, $x \in \overline{\{x_1, \dots\}}$. Existe $n_1 \ge 1$ tal que $d(x_{n_1}, x) < 1$.
• Para $n=n_1+1$, $x \in \overline{\{x_{n_1+1}, \dots\}}$. Existe $n_2 > n_1$ tal que $d(x_{n_2}, x) < 1/2$.
• En general, podemos elegir $n_{k+1} > n_k$ tal que $d(x_{n_{k+1}}, x) < 1/(k+1)$.

Esto construye una subsucesión $(x_{n_k})$ que converge a $x$. $\therefore E$ es compacto.

[!done] Q.E.D.

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[!math|proof] Formalización: Construcción de la Subsucesión Convergente Contexto: Tenemos un punto $x \in \bigcap_{n \ge 1} \overline{A_n}$, donde $A_n = \{ x_k : k \ge n \}$. Objetivo: Construir una subsucesión $(x_{n_k})$ tal que $n_{k+1} > n_k$ y $x_{n_k} \to x$. Herramienta: Caracterización métrica de la clausura:

$$y \in \overline{S} \iff \forall \epsilon > 0, \exists s \in S \text{ tal que } d(y, s) < \epsilon$$

Paso Base (Elección de $n_1$): Tomamos $\epsilon_1 = 1$. Sabemos que $x \in \overline{A_1}$. Por la definición de clausura, existe al menos un elemento dentro del conjunto $A_1$ que está a distancia menor que 1 de $x$. Como $A_1 = \{ x_1, x_2, \dots \}$, ese elemento es algún término $x_{n_1}$ con $n_1 \ge 1$.

$$d(x_{n_1}, x) < 1$$

Paso Inductivo (Elección de $n_{k+1}$): Supongamos que ya hemos elegido los índices $n_1 < n_2 < \dots < n_k$ tales que $d(x_{n_j}, x) < 1/j$. Necesitamos encontrar el siguiente índice $n_{k+1}$ que cumpla dos condiciones:

1. Ser estrictamente mayor que el anterior ($n_{k+1} > n_k$).
2. Estar más cerca de $x$ ($d < \frac{1}{k+1}$).

Consideramos el conjunto "cola" que empieza después de nuestro último índice elegido:

$$A_{n_k + 1} = \{ x_m : m \ge n_k + 1 \}$$

Por la hipótesis del teorema, sabemos que $x$ pertenece a la clausura de todas las colas, en particular a esta:

$$x \in \overline{A_{n_k + 1}}$$

Tomamos $\epsilon_{k+1} = \frac{1}{k+1}$. Por definición de clausura aplicada al conjunto $A_{n_k+1}$, existe un elemento $y \in A_{n_k + 1}$ tal que:

$$d(y, x) < \frac{1}{k+1}$$

Como $y \in A_{n_k + 1}$, por definición de este conjunto, $y$ debe ser un término de la sucesión original, digamos $x_{idx}$, con un índice $idx \ge n_k + 1$. Definimos nuestro nuevo índice como $n_{k+1} := idx$.

Esto garantiza automáticamente que:

1. $n_{k+1} \ge n_k + 1 > n_k$ (Creciente).
2. $d(x_{n_{k+1}}, x) < \frac{1}{k+1}$ (Convergente).

Conclusión de Convergencia: Hemos construido una subsucesión $(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ tal que para todo $k$:

$$0 \le d(x_{n_k}, x) < \frac{1}{k}$$

Tomando límite cuando $k \to \infty$, por el Teorema del Sándwich (Encaje), la distancia tiende a 0.

$$\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x$$

$\therefore$ Hemos encontrado una subsucesión convergente.