G5-Ej.2

[!infobox] Teorema: Existencia de Extremos en Compactos Contexto: Análisis Real ($\mathbb{R}$). Enunciado: Todo subconjunto $K \subseteq \mathbb{R}$ compacto y no vacío posee máximo y mínimo. Importancia: Es la base para el Teorema de Weierstrass de funciones continuas.

Demostración

Sea $K \subseteq \mathbb{R}$ un conjunto compacto y no vacío.

Parte 1: Existencia del Supremo (Candidato a Máximo)

Como $K$ es un conjunto compacto en $\mathbb{R}$, por el Teorema de Heine-Borel, sabemos que $K$ es acotado y cerrado.

1. Al ser acotado, $K$ está acotado superiormente.
2. Como $K \neq \emptyset$ y está acotado superiormente, por el Axioma de Completitud (o Axioma del Supremo) de $\mathbb{R}$, existe el supremo de $K$. Sea $M = \sup(K)$.

(Nota: Hasta aquí sabemos que $M$ es el "techo" del conjunto, pero no sabemos si $M$ está dentro de la casa $K$. Si probamos que $M \in K$, entonces $M = \max(K)$).

Parte 2: Pertenencia al Conjunto (Closedness)

Debemos probar que $M \in K$. Usaremos la caracterización del supremo mediante sucesiones.

Por definición de supremo (la menor cota superior): Para cualquier $\epsilon > 0$, $M - \epsilon$ no es cota superior. Esto significa que para cada $n \in \mathbb{N}$, eligiendo $\epsilon = \frac{1}{n}$, existe algún elemento $x_n \in K$ tal que:

$$M - \frac{1}{n} < x_n \leq M$$

Acá simplemente puedo decir que existe sucesión en $K$ que converge a $M$.

Tomando límite cuando $n \to \infty$:

• Por el Teorema del Sándwich, la sucesión $(x_n)$ converge a $M$.
• Tenemos una sucesión $(x_n) \subseteq K$ tal que $x_n \to M$.

Aquí usamos que $K$ es compacto (y por tanto cerrado):

Propiedad de los conjuntos cerrados: Si una sucesión convergente está contenida en un conjunto cerrado, su límite también debe pertenecer al conjunto.

Por lo tanto:

$$M \in K$$

Conclusión

Como $M = \sup(K)$ y $M \in K$, entonces $M$ es el Máximo de $K$.

(El razonamiento es análogo para el ínfimo $m = \inf(K)$, probando que $m \in K$ y por ende es el Mínimo).

[!done] Q.E.D.