G5-Ej.18

Considere en (Rn,d2)(\mathbb{R}^{n},d_{2}) una función f:Rn→Rnf:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n} con la propiedad de que  ∃ M>0\:\exists\:M>0 tal que ∀E>0 ∃ x∈B(0,M)\forall\mathcal{E}>0\:\exists\:x \in B(0,M) tal que d2(x,f(x))<Ed_{2}(x,f(x))<\mathcal{E} Probar que ff tiene un punto fijo.

Para cada n∈N,n \in \mathbb{N}, considero E=1n\mathcal{E}=\frac{1}{n} y como ff cumple la propiedad misteriosa del enunciado, existe xn∈B(0,M)x_{n}\in B(0,M) tal que d(xn,f(xn))<1nd(x_{n},f(x_{n}))< \frac{1}{n}. Y como {xn}n∈N⊆B(0,M)‾\{ x_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \overline{B(0,M)} que es compacto  ∃ xnk→x0∈B[0,M]\:\exists\:x_{n_{k}}\to x_{0}\in B[0,M]

Como ff es continua f(xnk)→f(xn)f(x_{n_{k}})\to f(x_{n}) y como d2:Rn×Rn→R≥0d_{2}:\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}_{\geq 0} es continua.

d(xnk,f(xnk))⟶d(x0,f(x0))d(x_{n_{k}},f(x_{n_{k}}))\longrightarrow d(x_{0},f(x_{0}))

Como d(xnk,f(xnk))⟶0d(x_{n_{k}},f(x_{n_{k}}))\longrightarrow 0 entonces d(x0,f(x0))⟶0d(x_{0},f(x_{0}))\longrightarrow 0   ⟹  f(x0)=x0\implies f(x_{0})=x_{0}

[!infobox] Teorema: Existencia de Punto Fijo por Aproximación (Rn\mathbb{R}^n) Contexto: Topología en Rn\mathbb{R}^n / Espacios Métricos. Enunciado: Sea f:Rn→Rnf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n continua. Si existe una bola B(0,M)B(0, M) tal que inf⁡{d(x,f(x)):x∈B(0,M)}=0\inf \{ d(x, f(x)) : x \in B(0, M) \} = 0, entonces ff tiene un punto fijo. Clave: Se construye una sucesión minimizante y se utiliza la compacidad local de Rn\mathbb{R}^n (Bolzano-Weierstrass) para extraer una subsucesión convergente.

Demostración Formal

1. Construcción de la sucesión minimizante Por hipótesis, existe M>0M > 0 tal que para todo ε>0\varepsilon > 0, existe x∈B(0,M)x \in B(0, M) con d2(x,f(x))<εd_2(x, f(x)) < \varepsilon. Consideremos la sucesión de valores εk=1k\varepsilon_k = \frac{1}{k} para k∈N≥1k \in \mathbb{N}_{\ge 1}. Para cada kk, existe un punto xk∈B(0,M)x_k \in B(0, M) tal que:

d2(xk,f(xk))<1k(∗)d_2(x_k, f(x_k)) < \frac{1}{k} \quad (*)

2. Extracción de subsucesión convergente La sucesión (xk)k∈N(x_k)_{k \in \mathbb{N}} está contenida en B(0,M)B(0, M), por lo tanto es una sucesión acotada en el espacio métrico (Rn,d2)(\mathbb{R}^n, d_2). Por el Teorema de Bolzano-Weierstrass en Rn\mathbb{R}^n, toda sucesión acotada admite una subsucesión convergente. Existe una subsucesión (xkj)j∈N(x_{k_j})_{j \in \mathbb{N}} y un punto x∗∈B(0,M)‾⊂Rnx^* \in \overline{B(0, M)} \subset \mathbb{R}^n tal que:

lim⁡j→∞xkj=x∗\lim_{j \to \infty} x_{k_j} = x^*

3. Continuidad y Paso al Límite Consideremos la función g:Rn→Rg: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} definida por g(x)=d2(x,f(x))g(x) = d_2(x, f(x)). Dado que la métrica d2d_2 y la función ff son continuas, la composición gg es continua. Por la caracterización secuencial de la continuidad:

lim⁡j→∞g(xkj)=g(x∗)\lim_{j \to \infty} g(x_{k_j}) = g(x^*)

Es decir:

lim⁡j→∞d2(xkj,f(xkj))=d2(x∗,f(x∗))\lim_{j \to \infty} d_2(x_{k_j}, f(x_{k_j})) = d_2(x^*, f(x^*))

4. Conclusión Utilizando la desigualdad (∗)(*), tenemos que para todo jj:

0≤d2(xkj,f(xkj))<1kj0 \le d_2(x_{k_j}, f(x_{k_j})) < \frac{1}{k_j}

Por el Teorema del Sándwich (o intercalación), al tomar el límite j→∞j \to \infty:

0≤d2(x∗,f(x∗))≤0  ⟹  d2(x∗,f(x∗))=00 \le d_2(x^*, f(x^*)) \le 0 \implies d_2(x^*, f(x^*)) = 0

Por propiedad de la métrica (d(a,b)=0  ⟺  a=bd(a,b)=0 \iff a=b), concluimos que:

x∗=f(x∗)x^* = f(x^*)

Por lo tanto, x∗x^* es un punto fijo de ff. ■\blacksquare

[!infobox] Teorema: La Bola Cerrada es un Conjunto Cerrado Contexto: Espacios Métricos / Topología. Enunciado: Sea (E,d)(E, d) un espacio métrico. La bola cerrada B(a,r)‾={x∈E:d(x,a)≤r}\overline{B(a, r)} = \{ x \in E : d(x, a) \leq r \} es un conjunto cerrado para todo a∈Ea \in E y r≥0r \geq 0. Clave: La función distancia es continua, por lo que preserva las desigualdades no estrictas (≤\leq) en el paso al límite.

Demostración Formal (Vía Sucesiones)

Sea K=B(0,M)‾K = \overline{B(0, M)}. Probaremos que KK es cerrado demostrando que contiene a todos sus puntos límite.

1. Hipótesis Sea (xn)n∈N⊆K(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq K una sucesión tal que xn→xx_n \to x para algún x∈Ex \in E. Por definición de la bola cerrada, el hecho de que xn∈Kx_n \in K implica:

d(xn,0)≤M∀n∈Nd(x_n, 0) \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N}

2. Continuidad de la métrica Consideremos la función g:E→Rg: E \to \mathbb{R} definida por g(y)=d(y,0)g(y) = d(y, 0). Por la Desigualdad Triangular Inversa (∣d(u,0)−d(v,0)∣≤d(u,v)|d(u,0) - d(v,0)| \leq d(u,v)), sabemos que la función distancia es Lipschitz continua (y por ende, continua).

Dado que xn→xx_n \to x y gg es continua, entonces:

lim⁡n→∞g(xn)=g(x)\lim_{n \to \infty} g(x_n) = g(x)

Es decir:

lim⁡n→∞d(xn,0)=d(x,0)\lim_{n \to \infty} d(x_n, 0) = d(x, 0)

3. Preservación de la desigualdad Tenemos una sucesión de números reales an=d(xn,0)a_n = d(x_n, 0) tal que an≤Ma_n \leq M para todo nn. Por propiedades de límites en R\mathbb{R}, si an→La_n \to L y an≤Ma_n \leq M, entonces L≤ML \leq M. Aplicando esto a nuestro caso:

d(x,0)≤Md(x, 0) \leq M

4. Conclusión La condición d(x,0)≤Md(x, 0) \leq M implica, por definición, que x∈B(0,M)‾x \in \overline{B(0, M)}. Dado que el límite de cualquier sucesión convergente dentro del conjunto permanece en el conjunto, concluimos que B(0,M)‾\overline{B(0, M)} es cerrado. ■\blacksquare