G5-Ej.17

[!infobox] Teorema: Generalización de Banach (Iteraciones) Contexto: Espacios Métricos Completos / Teoría de Punto Fijo. Enunciado: Sea (E,d)(E, d) un espacio métrico completo y f:E→Ef: E \to E una función continua. Si existe n∈Nn \in \mathbb{N} tal que la iterada fnf^n es una contracción, entonces ff tiene un único punto fijo. Aplicación: Permite probar existencia de soluciones cuando la función original no es contracción pero sus iteradas sí (ej: cos⁡(x)\cos(x)).

Demostración Formal

Parte (a): Preservación de Puntos Fijos Sea x∈Ex \in E un punto fijo de ff, es decir, f(x)=xf(x)=x. Probaremos por inducción que fk(x)=xf^k(x) = x para todo k∈Nk \in \mathbb{N}.

  • Caso base (k=1k=1): f(x)=xf(x)=x por hipótesis.
  • Paso inductivo: Supongamos fk(x)=xf^k(x)=x. Entonces:
fk+1(x)=f(fk(x))=f(x)=xf^{k+1}(x) = f(f^k(x)) = f(x) = x

Por lo tanto, si xx es punto fijo de ff, es punto fijo de fnf^n.

Parte (b): Existencia y Unicidad bajo Iteración Contractiva

1. Existencia del candidato (Banach sobre fnf^n) Por hipótesis, EE es completo y g=fng = f^n es una contracción. Por el Teorema del Punto Fijo de Banach, existe un único punto x∗∈Ex^* \in E tal que:

fn(x∗)=x∗f^n(x^*) = x^*

2. Prueba de que x∗x^* es punto fijo de ff Consideremos el punto y=f(x∗)y = f(x^*). Evaluamos fnf^n en yy:

fn(y)=fn(f(x∗))f^n(y) = f^n(f(x^*))

Por la asociatividad de la composición de funciones (fn∘f=fn+1=f∘fnf^n \circ f = f^{n+1} = f \circ f^n), conmutamos los operadores:

fn(f(x∗))=f(fn(x∗))f^n(f(x^*)) = f(f^n(x^*))

Como x∗x^* es punto fijo de fnf^n:

f(fn(x∗))=f(x∗)f(f^n(x^*)) = f(x^*)

Resumiendo: fn(f(x∗))=f(x∗)f^n(f(x^*)) = f(x^*), es decir, fn(y)=yf^n(y) = y. Esto implica que f(x∗)f(x^*) es un punto fijo de fnf^n. Dado que x∗x^* es el único punto fijo de fnf^n (por el paso 1), necesariamente:

f(x∗)=x∗f(x^*) = x^*

Por lo tanto, x∗x^* es punto fijo de ff.

3. Unicidad para ff Supongamos que existe otro punto fijo zz de ff (con f(z)=zf(z)=z). Por la propiedad demostrada en la parte (a), zz debe ser también punto fijo de fnf^n. Pero fnf^n tiene un único punto fijo x∗x^*. Por lo tanto, z=x∗z = x^*. ■\blacksquare

Parte (c): Aplicación a cos⁡(x)=x\cos(x) = x

Sea E=RE = \mathbb{R} (espacio completo con la métrica usual) y f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x). Analizamos si ff es una contracción: ∣f′(x)∣=∣−sin⁡(x)∣≤1|f'(x)| = |-\sin(x)| \le 1. No es estrictamente menor a 1 en todo R\mathbb{R}, por lo que Banach no aplica directamente.

Analizamos la segunda iteración f2(x)=cos⁡(cos⁡(x))f^2(x) = \cos(\cos(x)). Derivando mediante la regla de la cadena:

(f2)′(x)=−sin⁡(cos⁡(x))⋅(−sin⁡(x))=sin⁡(cos⁡(x))sin⁡(x)(f^2)'(x) = -\sin(\cos(x)) \cdot (-\sin(x)) = \sin(\cos(x))\sin(x)

Acotamos el valor absoluto de la derivada:

∣(f2)′(x)∣=∣sin⁡(cos⁡(x))∣⋅∣sin⁡(x)∣|(f^2)'(x)| = |\sin(\cos(x))| \cdot |\sin(x)|

Sabemos que:

  1. ∣sin⁡(x)∣≤1|\sin(x)| \le 1 para todo xx.
  2. La imagen de cos⁡(x)\cos(x) es [−1,1][-1, 1]. En este intervalo, la función ∣sin⁡(u)∣|\sin(u)| es creciente en [0,1][0,1] y par, por lo que su máximo se alcanza en u=1u=1 (o u=−1u=-1).
∣sin⁡(cos⁡(x))∣≤sin⁡(1)≈0.8415|\sin(\cos(x))| \le \sin(1) \approx 0.8415

Por lo tanto:

∣(f2)′(x)∣≤sin⁡(1)⋅1=sin⁡(1)<1|(f^2)'(x)| \le \sin(1) \cdot 1 = \sin(1) < 1

Por el Teorema del Valor Medio, f2f^2 es una contracción con constante k=sin⁡(1)k = \sin(1). Aplicando el teorema demostrado en la parte (b), concluimos que existe un único x∈Rx \in \mathbb{R} tal que cos⁡(x)=x\cos(x) = x.