G5-Ej.16

[!infobox] Contraejemplo: Importancia de la Completitud en Banach Contexto: Espacios Métricos / Teorema de Punto Fijo. Enunciado: Sea $E = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ con la métrica usual y $f: E \to E$ definida por $f(x) = \frac{1}{3}x$. La función es una contracción pero no posee punto fijo. Clave: El Teorema de Banach no se aplica porque el espacio $E$ no es completo.

Demostración Formal

1. $f$ es una contracción Sean $x, y \in E$. Evaluamos la distancia:

$$d(f(x), f(y)) = |f(x) - f(y)| = \left| \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}y \right| = \frac{1}{3}|x - y|$$ $$d(f(x), f(y)) = \frac{1}{3} d(x, y)$$

Dado que la constante de Lipschitz es $k = 1/3$ y $0 \le 1/3 < 1$, la función es una contracción estricta.

2. Inexistencia de punto fijo en $E$ Supongamos que existe $x^* \in E$ tal que $f(x^*) = x^*$.

$$\frac{1}{3}x^* = x^* \iff x^* - \frac{1}{3}x^* = 0 \iff \frac{2}{3}x^* = 0 \iff x^* = 0$$

Sin embargo, por definición del espacio, $0 \notin E$. Por lo tanto, no existe ningún $x \in E$ que satisfaga la ecuación de punto fijo.

3. Fallo en las hipótesis del Teorema de Banach El Teorema de Punto Fijo de Banach establece que toda contracción en un espacio métrico completo tiene un punto fijo. Dado que $f$ es contracción y no tiene punto fijo, la hipótesis de completitud debe fallar.

Probamos formalmente que $(E, d)$ no es completo exhibiendo una sucesión de Cauchy que no converge en $E$: Consideremos la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definida por $x_n = \frac{1}{n}$.

• Es de Cauchy: En $\mathbb{R}$, esta sucesión converge a 0, por lo tanto es de Cauchy. Como la métrica es la misma, es de Cauchy en $E$. Formalmente: $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que si $n,m > N \implies |1/n - 1/m| < \epsilon$.
• No converge en $E$: El único límite posible (en la clausura $\mathbb{R}$) es $0$. Pero $0 \notin E$. Por lo tanto, la sucesión no tiene límite dentro del espacio $E$.

Conclusión: El espacio no es completo, lo cual invalida la aplicación del Teorema de Banach. $\blacksquare$