G5-Ej.15

[!infobox] Ejercicio: Contracción vía Derivada Acotada Contexto: Espacios Métricos / Cálculo Diferencial. Enunciado: Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \frac{1}{2}\arctan(x) + 3$. Demuestre que $f$ es una contracción. Clave: Si $f$ es diferenciable y $\sup |f'(x)| < 1$, entonces $f$ es una contracción (Corolario del Teorema del Valor Medio).

Demostración Formal

Para probar que $f$ es una contracción, debemos encontrar una constante $k \in [0, 1)$ tal que:

$$|f(x) - f(y)| \le k |x - y| \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$

1. Análisis de la derivada La función $f$ es diferenciable en todo $\mathbb{R}$ por ser composición y suma de funciones diferenciables. Su derivada es:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}\arctan(x) + 3 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2}$$

2. Acotación de la derivada Buscamos una cota superior para $|f'(x)|$. Dado que $x^2 \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, tenemos que $1 + x^2 \ge 1$. Esto implica que:

$$\frac{1}{1+x^2} \le 1$$

Por lo tanto:

$$|f'(x)| = \left| \frac{1}{2(1+x^2)} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \le \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

Así, $\sup_{x \in \mathbb{R}} |f'(x)| \le \frac{1}{2}$.

3. Aplicación del Teorema del Valor Medio (Lagrange) Sean $x, y \in \mathbb{R}$ cualesquiera.

• Si $x = y$, la desigualdad se cumple trivialmente ($0 \le 0$).
• Si $x \neq y$, por el Teorema del Valor Medio, existe un $c$ en el intervalo abierto determinado por $x$ e $y$ tal que:

$$f(x) - f(y) = f'(c)(x - y)$$

Tomando valor absoluto:

$$|f(x) - f(y)| = |f'(c)| \cdot |x - y|$$

Usando la cota obtenida en el paso 2 ($|f'(c)| \le 1/2$):

$$|f(x) - f(y)| \le \frac{1}{2} |x - y|$$

Conclusión La función satisface la condición de Lipschitz con constante $k = \frac{1}{2}$. Dado que $0 \le \frac{1}{2} < 1$, concluimos que $f$ es una contracción en $\mathbb{R}$. $\blacksquare$