G5-Ej.14 - Punto fijo

[!infobox] Teorema: El Conjunto de Puntos Fijos es Cerrado Contexto: Espacios Métricos / Topología. Enunciado: Sea $(E, d)$ un espacio métrico y $f: E \to E$ una función continua. El conjunto de puntos fijos $Fix(f) = \{x \in E : f(x) = x\}$ es un conjunto cerrado en $E$. Clave: La continuidad preserva límites de sucesiones. Si $x_n \to x$ y $x_n$ son fijos, entonces $f(x) = \lim f(x_n) = \lim x_n = x$.

Demostración Formal (Vía Sucesiones)

Sea $A = \{ x \in E : f(x) = x \}$ el conjunto de puntos fijos de $f$. Para probar que $A$ es cerrado, utilizaremos la caracterización secuencial de conjuntos cerrados.

1. Hipótesis: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq A$ una sucesión convergente a un punto $x \in E$. Es decir:

$$f(x_n) = x_n \quad \forall n \in \mathbb{N}$$ $$\lim_{n \to \infty} x_n = x$$

2. Continuidad: Dado que $f$ es continua en $E$, es secuencialmente continua. Por lo tanto:

$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$$

3. Unicidad del límite: Evaluamos el límite de la sucesión $(x_n)$ de dos formas:

   • Por hipótesis de convergencia: $\lim_{n \to \infty} x_n = x$.
   • Usando que son puntos fijos: $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} f(x_n)$.

   Igualando los resultados:

$$x = \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$$

4. Conclusión: Obtenemos que $f(x) = x$, lo que implica que $x \in A$. Como el límite de toda sucesión convergente en $A$ pertenece a $A$, el conjunto es cerrado. $\blacksquare$

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Demostración Alternativa (Vía Función Distancia)

Definimos la función auxiliar $g: E \to \mathbb{R}$ dada por:

$$g(x) = d(x, f(x))$$

• La función distancia $d: E \times E \to \mathbb{R}$ es continua.
• La función $x \mapsto (x, f(x))$ es continua pues sus componentes ($id$ y $f$) lo son.
• Por lo tanto, $g$ es continua por ser composición de funciones continuas.

Notemos que el conjunto de puntos fijos es exactamente el conjunto de ceros de $g$:

$$A = \{ x \in E : f(x) = x \} = \{ x \in E : d(x, f(x)) = 0 \} = g^{-1}(\{0\})$$

El conjunto $\{0\}$ es un conjunto cerrado en $\mathbb{R}$ (es un punto). Como la preimagen de un conjunto cerrado por una función continua es cerrada, concluimos directamente que $A$ es cerrado. $\blacksquare$