G5-Ej.13

[!infobox] Teorema: Homeomorfismo en Compactos Contexto: Topología General / Espacios Métricos. Enunciado: Sea f:E→E′f: E \to E' una función continua y biyectiva entre espacios métricos. Si el espacio de salida EE es compacto, entonces ff es un homeomorfismo (es decir, f−1f^{-1} es continua). Clave: La continuidad de la inversa se prueba viendo que ff es una función cerrada. La cadena lógica es: Cerrado en Compacto →\to Compacto →\to Imagen Compacta →\to Cerrado en Métrico.

Demostración Formal

Para demostrar que ff es un homeomorfismo, dado que ya sabemos que es biyectiva y continua, basta probar que su función inversa f−1:E′→Ef^{-1}: E' \to E es continua.

Utilizaremos la caracterización de continuidad mediante conjuntos cerrados: f−1f^{-1} es continua si y solo si para todo conjunto cerrado C⊆EC \subseteq E, su preimagen por f−1f^{-1} es un conjunto cerrado en E′E'. Notemos que la preimagen por la inversa es la imagen directa:

(f−1)−1(C)=f(C)(f^{-1})^{-1}(C) = f(C)

Por lo tanto, debemos demostrar que ff es una función cerrada (envía cerrados en cerrados).

1. Sea C⊆EC \subseteq E un conjunto cerrado. Dado que el espacio EE es compacto (por hipótesis) y CC es un subconjunto cerrado de EE, entonces CC es un conjunto compacto. (Justificación: Todo subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto).

2. Imagen de CC. Consideramos el conjunto imagen f(C)f(C). Como ff es una función continua y CC es compacto, entonces f(C)f(C) es un conjunto compacto en E′E'. (Justificación: La imagen continua de un conjunto compacto es compacta).

3. Cerradura en E′E'. Como f(C)f(C) es compacto, es cerrado.

Conclusión: Hemos demostrado que para todo cerrado C⊆EC \subseteq E, su imagen f(C)f(C) es cerrada en E′E'. Esto equivale a decir que la preimagen de cerrados por f−1f^{-1} es cerrada, lo que implica que f−1f^{-1} es continua. Al ser ff biyectiva, continua y con inversa continua, ff es un homeomorfismo. ■\blacksquare

Para que se cumpla la igualdad cuando escribo la preimagen de la inversa como imagen directa, estoy usando fuerte que ff es biyectiva.