G5-Ej.11

[!infobox] Teorema: Acotación Inferior Positiva en Compactos Contexto: Topología / Análisis Real (Propiedades de funciones continuas en compactos). Enunciado: Sea (E,d)(E, d) un espacio métrico compacto y f:E→(0,+∞)f: E \to (0, +\infty) una función continua. Entonces existe una constante α>0\alpha > 0 tal que f(x)>αf(x) > \alpha para todo x∈Ex \in E. Clave: Una función continua en un compacto alcanza su mínimo. Como el codominio es positivo, el mínimo es estrictamente positivo.

Demostración Formal

1. Aplicación del Teorema de Weierstrass Dado que:

  1. ff es una función continua.
  2. EE es un espacio métrico compacto.

El Teorema de Weierstrass (o Teorema de los Valores Extremos) garantiza que la función ff alcanza sus cotas extremas dentro del conjunto EE. En particular, ff alcanza su mínimo absoluto. Es decir, existe un punto x0∈Ex_0 \in E tal que:

f(x0)≤f(x)∀x∈Ef(x_0) \leq f(x) \quad \forall x \in E

2. Análisis del valor mínimo Definimos m=f(x0)m = f(x_0). Por hipótesis del enunciado, el codominio de la función es (0,+∞)(0, +\infty). Esto implica que la imagen de cualquier punto es estrictamente positiva. Por lo tanto, evaluando en x0x_0:

m=f(x0)>0m = f(x_0) > 0

3. Construcción de la cota α\alpha Debemos encontrar un α>0\alpha > 0 tal que f(x)>αf(x) > \alpha para todo xx. Definimos:

α=m2\alpha = \frac{m}{2}

Dado que m>0m > 0, entonces α>0\alpha > 0.

4. Verificación Para todo x∈Ex \in E, tenemos la siguiente cadena de desigualdades:

f(x)≥m>m2=αf(x) \ge m > \frac{m}{2} = \alpha f(x)>αf(x) > \alpha

Conclusión: Hemos demostrado la existencia de un α>0\alpha > 0 que acota inferiormente a la función de manera estricta. ■\blacksquare