G5-Ej.10

Resuelto en teórica 12 2C2024: Avanzado-Teórica 12 - Compacidad I

[!infobox] Contraejemplo: La Bola Unitaria en Dimensión Infinita Contexto: Espacios Métricos / Análisis Funcional (C[0,1]C[0,1]). Enunciado: Sea E=(C[0,1],d∞)E = (C[0,1], d_\infty). La bola cerrada unitaria K=B(0,1)‾K = \overline{B(0,1)} es un conjunto cerrado y acotado, pero no es compacto. Advertencia: Esto demuestra que el Teorema de Heine-Borel no es válido en espacios de dimensión infinita.

Demostración Formal

Recordemos que en un espacio métrico, un conjunto KK es compacto si y solo si es secuencialmente compacto (toda sucesión en KK admite una subsucesión convergente a un punto de KK).

Procederemos por el absurdo, exhibiendo una sucesión (fn)n∈N⊆K(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq K que no admite ninguna subsucesión convergente.

1. Construcción de la sucesión con soportes disjuntos Para cada n∈Nn \in \mathbb{N}, definimos el intervalo In=[12n+1,12n]I_n = [ \frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^n} ]. Notemos que In∩Im=∅I_n \cap I_m = \emptyset si n≠mn \neq m.

Definimos fn:[0,1]→Rf_n : [0,1] \to \mathbb{R} como una función continua "pico" tal que:

  • fn(x)=0f_n(x) = 0 si x∉Inx \notin I_n.
  • fn(cn)=1f_n(c_n) = 1, donde cnc_n es el punto medio de InI_n.
  • fnf_n es lineal en el resto de InI_n (formando un triángulo).

Claramente fnf_n es continua y max⁡x∈[0,1]∣fn(x)∣=1\max_{x \in [0,1]} |f_n(x)| = 1. Por lo tanto, d∞(fn,0)=1d_\infty(f_n, 0) = 1, lo que implica que fn∈B(0,1)‾f_n \in \overline{B(0,1)} para todo nn.

2. Análisis de la distancia entre términos Sean n,m∈Nn, m \in \mathbb{N} con n≠mn \neq m. Evaluamos la distancia del supremo:

d∞(fn,fm)=sup⁡x∈[0,1]∣fn(x)−fm(x)∣d_\infty(f_n, f_m) = \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f_m(x)|

Consideremos el punto cnc_n (donde fnf_n alcanza su máximo).

  • fn(cn)=1f_n(c_n) = 1 (por construcción).
  • Como los soportes son disjuntos y cn∈Inc_n \in I_n, entonces cn∉Imc_n \notin I_m.
  • Esto implica que fm(cn)=0f_m(c_n) = 0.

Evaluando la diferencia en este punto:

∣fn(cn)−fm(cn)∣=∣1−0∣=1|f_n(c_n) - f_m(c_n)| = |1 - 0| = 1

Por definición de supremo, d∞(fn,fm)≥1d_\infty(f_n, f_m) \geq 1. (De hecho, es exactamente 1 porque las funciones están acotadas por 1).

3. Argumento de no convergencia Supongamos que KK es compacto. Entonces, la sucesión (fn)(f_n) debería tener una subsucesión (fnk)(f_{n_k}) convergente. Si una subsucesión converge, necesariamente es una sucesión de Cauchy. Esto implica que para todo ϵ>0\epsilon > 0, existe un NN tal que si k,j≥Nk, j \geq N, entonces d∞(fnk,fnj)<ϵd_\infty(f_{n_k}, f_{n_j}) < \epsilon.

Sin embargo, hemos demostrado en el paso 2 que para cualquier par de índices distintos:

d∞(fnk,fnj)=1d_\infty(f_{n_k}, f_{n_j}) = 1

Si tomamos ϵ=1/2\epsilon = 1/2, llegamos a una contradicción, ya que 1≮1/21 \not< 1/2.

Conclusión: La sucesión (fn)(f_n) no tiene subsucesiones convergentes, por lo tanto, B(0,1)‾\overline{B(0,1)} no es compacto. ■\blacksquare

[!infobox] Ejemplo: Incompletitud de (C[0,1],d1)(C[0,1], d_1) Contexto: Espacios Métricos / Análisis Real. Enunciado: La sucesión de funciones fn(x)=xnf_n(x) = x^n es de Cauchy con la métrica integral d1d_1, pero su límite puntual es discontinuo. Consecuencia: El espacio (C[0,1],d1)(C[0,1], d_1) no es completo, ya que existe una sucesión de Cauchy que no converge a un elemento del espacio (no converge a una función continua).

Demostración Formal

Consideremos la sucesión (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} definida por fn(x)=xnf_n(x) = x^n en el intervalo [0,1][0,1].

1. Prueba de que (fn)(f_n) es de Cauchy en d1d_1 Sea ϵ>0\epsilon > 0. Queremos ver que d1(fn,fm)<ϵd_1(f_n, f_m) < \epsilon para n,mn, m suficientemente grandes. Asumimos sin pérdida de generalidad que m>nm > n.

d1(fn,fm)=∫01∣xn−xm∣ dxd_1(f_n, f_m) = \int_0^1 |x^n - x^m| \, dx

Dado que x∈[0,1]x \in [0,1] y m>nm > n, se tiene que xm≤xnx^m \leq x^n, por lo que ∣xn−xm∣=xn−xm|x^n - x^m| = x^n - x^m.

d1(fn,fm)=∫01(xn−xm) dx=[xn+1n+1−xm+1m+1]01=1n+1−1m+1d_1(f_n, f_m) = \int_0^1 (x^n - x^m) \, dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{m+1}}{m+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{m+1}

Como lim⁡n→∞1n+1=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0, existe N∈NN \in \mathbb{N} tal que para todo n>Nn > N, 1n+1<ϵ\frac{1}{n+1} < \epsilon. Entonces, para todo m>n>Nm > n > N:

d1(fn,fm)<1n+1<ϵd_1(f_n, f_m) < \frac{1}{n+1} < \epsilon

Por lo tanto, (fn)(f_n) es una sucesión de Cauchy.

2. Prueba de que el límite puntual es discontinuo Definimos la función límite puntual f(x)=lim⁡n→∞fn(x)f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x). Evaluamos punto a punto:

  • Si x∈[0,1)x \in [0, 1): Sabemos que si ∣r∣<1|r| < 1, entonces lim⁡rn=0\lim r^n = 0.
f(x)=0f(x) = 0
  • Si x=1x = 1: Tenemos que fn(1)=1n=1f_n(1) = 1^n = 1 para todo nn.
f(1)=1f(1) = 1

La función límite es:

f(x)={0si 0≤x<11si x=1f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}

Esta función ff presenta una discontinuidad inevitable en x=1x=1 (el límite por izquierda es 0, pero el valor de la función es 1). Como f∉C[0,1]f \notin C[0,1], la sucesión de Cauchy no converge dentro del espacio métrico. ■\blacksquare