G4-Ej.15

Esto es clave : link

(a) Ejemplo de función acotada y continua pero no uniformemente continua

Consideremos

$$f(x) = \sin(x^2),$$

definida en $\mathbb{R}$.

1. $f$ está acotada.
   Para todo $x\in\mathbb{R}$,

$$-1 \le \sin(x^2) \le 1,$$

luego $\sup|f(x)|=1$.

2. $f$ es continua.
   Como la composición de funciones continuas ($x\mapsto x^2$ y $\sin$) es continua, $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

3. $f$ no es uniformemente continua.
   Si fuera uniformemente continua, entonces para cada $\varepsilon>0$ existiría $\delta>0$ tal que

$$|x - y|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |\sin(x^2)-\sin(y^2)|<\varepsilon \quad\forall x,y\in\mathbb{R}.$$

Sin embargo, para cualquier $\delta>0$ podemos escoger un número grande $t>0$ de modo que

$$2\,t\,\delta + \delta^2 = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi\,k$$

para algún entero $k$. Entonces, si definimos

$$x = t, \qquad y = t + \delta,$$

se cumple

$$y^2 - x^2 = (t+\delta)^2 - t^2 = 2\,t\,\delta + \delta^2 = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k,$$

de donde

$$\sin(y^2) = \sin\bigl(x^2 + \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\bigr) = \sin\bigl(x^2 + \tfrac{\pi}{2}\bigr) = \cos(x^2),$$

y además

$$\sin(x^2) = \sin\bigl(x^2\bigr).$$

Elegimos $x$ de modo que $\sin(x^2)=0$, entonces $\sin(y^2)=1$ y

$$|\sin(x^2)-\sin(y^2)| = |0-1| = 1.$$

Pero $|x-y| = \delta$, así que para ese $\delta$ la diferencia de valores de $f$ alcanza $1$, y no hay forma de hacerla arbitrariamente pequeña.

Esto contradice la uniform continuidad. Por lo tanto, $f(x)=\sin(x^2)$ no es uniformemente continua.

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Otro ejemplo:

Sea

$$f(x)=\sin\bigl(e^x\bigr),\quad x\in\mathbb{R}.$$

1. $f$ está acotada y es continua
   • Para todo $x$,

$$-1\le \sin\bigl(e^x\bigr)\le 1,$$

 luego $\sup|f(x)|=1$.  

• Como $x\mapsto e^x$ y $\sin$ son continuas, su composición $f$ es continua en $\mathbb{R}$.

2. $f$ no es uniformemente continua
   Supongamos que fuera uniformemente continua. Entonces existe $\delta>0$ tal que

$$|x-y|<\delta\quad\Longrightarrow\quad \bigl|\sin(e^x)-\sin(e^y)\bigr|<\tfrac12.$$

Pero notemos que para $y=x+\delta$,

$$e^y - e^x = e^x\bigl(e^\delta - 1\bigr).$$

Fijado este $\delta>0$, el factor $(e^\delta -1)>0$ es constante. Ahora elegimos un entero $k\gg1$ y definimos $x$ tal que

$$e^x\,(e^\delta -1)=\frac\pi2 + 2\pi k.$$

Como $k$ crece sin límite, siempre podemos resolver esta ecuación para algún $x\in\mathbb{R}$ y obtener así

$$e^y - e^x = \frac\pi2 + 2\pi k.$$

Entonces

$$\sin(e^y)=\sin\bigl(e^x + \tfrac\pi2 + 2\pi k\bigr) =\sin\bigl(e^x+\tfrac\pi2\bigr) =\cos\bigl(e^x\bigr),$$

mientras que $\sin(e^x)$ puede escogerse para que sea $0$ (simplemente elija $x$ tal que $e^x=\pi m$). De este modo

Para ver cuándo $\sin(e^x)=0$, basta resolver

$$\sin(e^x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^x = k\pi,$$

para algún $k\in\mathbb{Z}$.

3. Como el exponencial $e^x$ toma todos los valores positivos, para cada $k=1,2,3,\dots$ existe

$$x = \ln(k\pi)$$

tal que

$$e^x = e^{\ln(k\pi)} = k\pi,$$

y entonces

$$\sin(e^x) = \sin(k\pi) = 0.$$

4. Por lo tanto, sí podemos elegir un $x$ (concretamente $x=\ln(k\pi)$) de modo que $\sin(e^x)=0$.

Esta libertad de escoger $k$ grande es la que usamos en la prueba para garantizar que en ese mismo punto $x$ la diferencia $\bigl|\sin(e^{x+\delta}) - \sin(e^x)\bigr|$ sea grande (concretamente igual a $1$), mientras mantenemos $|(x+\delta)-x|=\delta$.

$$\bigl|\sin(e^y)-\sin(e^x)\bigr| = |\,\cos(e^x)-0\,| = 1,$$

aunque $|y-x|=\delta$. Esto contradice la uniform continuidad de $f$.

Por tanto, $f(x)=\sin(e^x)$ es un ejemplo de función continua y acotada en $\mathbb{R}$ pero no uniformemente continua.

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Demo en foro

Demostración: $f(x)=\sin(e^x)$ no es uniformemente continua

Supongamos, por contradicción, que $f(x)=\sin(e^x)$ fuera uniformemente continua en $\mathbb{R}$. Entonces existiría $\delta>0$ tal que

$$|x - y| < \delta \quad\Longrightarrow\quad |\sin(e^x) - \sin(e^y)| < \tfrac12 \quad\forall x,y\in\mathbb{R}.$$

Ahora definimos para cada entero $n\ge1$ las dos sucesiones

$$x_n = \ln\bigl(2\pi n + \tfrac\pi2\bigr), \qquad y_n = \ln\bigl(2\pi n\bigr).$$

1. Imágenes bajo $f$
   Dado que

$$e^{x_n} = 2\pi n + \tfrac\pi2, \qquad e^{y_n} = 2\pi n,$$

tenemos

$$\sin\bigl(e^{x_n}\bigr) = \sin\bigl(2\pi n + \tfrac\pi2\bigr) = 1,$$ $$\sin\bigl(e^{y_n}\bigr) = \sin\bigl(2\pi n\bigr) = 0.$$

2. Distancia entre $x_n$ y $y_n$
   Observamos que

$$|x_n - y_n| = \bigl|\ln(2\pi n + \tfrac\pi2) - \ln(2\pi n)\bigr| = \ln\!\Bigl(1 + \tfrac{\pi/(2)}{2\pi n}\Bigr) = \ln\!\Bigl(1 + \tfrac{1}{4n}\Bigr).$$

Como $\ln(1 + \tfrac1{4n}) \to 0$ cuando $n\to\infty$, se concluye

$$|x_n - y_n| \;\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$$

3. Contradicción con uniform continuidad
   Sin embargo, para todo $n$,

$$\bigl|\sin(e^{x_n}) - \sin(e^{y_n})\bigr| = |\,1 - 0\,| = 1 \ge \tfrac12,$$

aunque $|x_n - y_n|$ sea tan pequeño como queramos cuando $n$ es suficientemente grande. Esto contradice la suposición de uniform continuidad.

Por lo tanto, $f(x)=\sin(e^x)$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$.

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(b) Ejemplo de función $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ no acotada y uniformemente continua

Tomemos la función

$$f(x)=x.$$

1. No está acotada.
   Su imagen es todo $\mathbb{R}$, pues para cada $M>0$ existe $x=M$ tal que $f(x)=M$, y para cada $N<0$ existe $x=N$ con $f(x)=N$.

2. Uniform continuidad.
   Para todo $\varepsilon>0$, basta elegir

$$\delta = \varepsilon.$$

Entonces, si $|x - y| < \delta$, se tiene

$$|f(x)-f(y)| = |x - y| < \delta = \varepsilon.$$

Como $\delta$ no depende de $x,y$, $f$ es uniformemente continua.

Por tanto, $f(x)=x$ es un ejemplo sencillo de función sobre $\mathbb{R}$ que, siendo Lipschitz (constante $1$), es uniformemente continua pero no está acotada.