G4-Ej.11

(c) Existencia de entornos abiertos disjuntos que contienen a $A$ y $B$

Sean $A,B\subset E$ cerrados, no vacíos y disjuntos. Usamos la función

$$h(x)=\frac{d(x,A)}{\,d(x,A)+d(x,B)\,}$$

vista en el inciso (b), que ya sabemos es continua y satisface

$$h(x)=0\quad\forall x\in A,\qquad h(x)=1\quad\forall x\in B.$$

Definimos los conjuntos

$$U = \{\,x\in E : h(x) < \tfrac12 \}, \qquad V = \{\,x\in E : h(x) > \tfrac12 \}.$$

1. $U$ y $V$ son abiertos.
   Como $h$ es continua,

$$U = h^{-1}\bigl((-\infty,\tfrac12)\bigr), \quad V = h^{-1}\bigl((\tfrac12,+\infty)\bigr)$$

son preimágenes de abiertos de $\mathbb{R}$, luego son abiertos en $E$.

2. $A\subset U$ y $B\subset V$.

   • Para $x\in A$, $h(x)=0<\tfrac12$, luego $x\in U$.
   • Para $x\in B$, $h(x)=1>\tfrac12$, luego $x\in V$.

3. $U$ y $V$ son disjuntos.
   Si existiera $x\in U\cap V$, habría

$$h(x) < \tfrac12 \quad\text{y}\quad h(x) > \tfrac12$$

simultáneamente, lo cual es imposible. Por tanto $U\cap V=\emptyset$.

Con esto hemos construido dos conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ que contienen respectivamente a $A$ y $B$.