G3-Ej.16

Teorema de la intersección (Cantor). Sea EE un espacio métrico completo. Sea (An)n∈N(A_n)_{n \in \mathbb{N}} una sucesión de subconjuntos cerrados, acotados y no vacíos de EE tal que:

  • An+1⊆AnA_{n+1} \subseteq A_n para todo n≥1n \geq 1,
  • lim⁡n→∞diam⁡(An)=0\lim_{n \to \infty} \operatorname{diam}(A_n) = 0.

Entonces, existe un único elemento x∈⋂n∈NAnx \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n.

Dem:Dem: Defino una sucesión de la forma

an∈An∀n∈Na_{n}\in A_{n}\quad \forall n \in \mathbb{N}

Pues todo AnA_{n} es no vacío.

Quiero ver que esta sucesión es de Cauchy.

Como lim⁡n→∞diam(An)=0\underset{ n\to \infty }{ \lim }diam(A_{n})=0 entonces ∀E>0, ∃ n0∈N∣\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\bigm|

∣diam(An)∣<E∀n≥n0diam(An)<E∀n≥n0(1)\begin{array}{c} |diam(A_{n})|<\mathcal{E}\quad \forall n\geq n_{0} \\ diam(A_{n})<\mathcal{E}\quad \forall n\geq n_{0}\tag{1} \end{array}

Dado E>0,m,n≥n0:\mathcal{E}>0,m,n\geq n_{0}: Como n≥n0  ⟹  An⊆An0n\geq n_{0}\implies A_{n}\subseteq A_{n_{0}}. Por lo tanto, an∈An0a_{n}\in A_{n_{0}} Idem para m:am∈An0m:a_{m}\in A_{n_{0}}

d(an,am)≤diam(An0)(2)d(a_{n},a_{m})\leq diam(A_{n_{0}})\tag{2}

Pues

diam(An0)=sup{d(x,y):x,y∈An0}diam(A_{n_{0}})=sup\{ d(x,y):x,y\in A_{n_{0}} \}

y existe porque AnA_{n} es acotado y no vacío para todo n∈Nn \in \mathbb{N}. Por (1) y (2) para todo E>0, ∃ n0:\mathcal{E}>0,\:\exists\:n_{0}: :

d(an,am)<E∀n,m≥n0d(a_{n},a_{m})<\mathcal{E}\quad \forall n,m\geq n_{0}

Luego, (an)n∈N( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}} es de Cauchy.

Por completitud de EE, la sucesión converge a l∈El \in E. Afirmo

l∈An∀n∈Nl \in A_{n}\quad \forall n \in \mathbb{N}

En efecto, dado n∈N,n \in \mathbb{N}, considero la subsucesión (xnj)(x_{n_{j}}) resultado de tomar los elementos a partir del término n−eˊsimon-ésimo. Así, (xnj)⊆An(x_{n_{j}})\subseteq A_{n} . Como AnA_{n} es cerrado, y xn→lx_{n}\to l entonces xnj→l∈Anx_{n_{j}}\to l \in A_{n}
Como nn era arbitrario

l∈An∀n∈N  ⟹  l∈⋂n∈NAnl \in A_{n}\quad \forall n \in \mathbb{N}\implies l\in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_{n}

Falta demostrar que es único: Sea M∈⋂AnM \in \bigcap A_{n} Dado E>0, ∃ n0 ∣ diam(An0)<E\mathcal{E}>0, \:\exists\:n_{0}\:|\:diam(A_{n_{0}})<\mathcal{E} Pero L,M∈An0:d(L,M)≤diam(An0)<EL,M \in A_{n_{0}}:d(L,M)\leq diam(A_{n_{0}})<\mathcal{E} Como d(L,M)<E∀E>0d(L,M)<\mathcal{E}\quad\forall\mathcal{E}>0 necesariamente (ej.1 P1), d(L,M)≤0d(L,M)\leq0 Y por definición de distancia d(L,M)≥0  ⟹  d(L,M)d(L,M)\geq0\implies d(L,M) es cero. Por lo tanto L=ML=M.

Unicidad de ll

Sea L∈⋂n∈NAnL \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n y sea M∈⋂n∈NAnM \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n. Queremos probar que L=ML=M.

Dado ε>0\varepsilon>0, como lim⁡n→∞diam⁡(An)=0\lim_{n\to\infty} \operatorname{diam}(A_n) = 0, existe n0∈Nn_0 \in \mathbb{N} tal que

diam⁡(An0)<ε.\operatorname{diam}(A_{n_0}) < \varepsilon.

Pero L,M∈An0L, M \in A_{n_0}, por lo que

d(L,M)≤diam⁡(An0)<ε.d(L,M) \le \operatorname{diam}(A_{n_0}) < \varepsilon.

Como esto se cumple para todo ε>0\varepsilon>0, necesariamente

d(L,M)=0  ⟹  L=M.d(L,M) = 0 \implies L = M.

Por lo tanto, el elemento en la intersección es único.