Sea $(E, d)$ un espacio métrico y sean $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sucesiones en $E$.

(a) Si $\lim_{n\to\infty} x_n = x \quad \text{y} \quad \lim_{n\to\infty} y_n = y,$ pruebe que

$$\lim_{n\to\infty} d(x_n, y_n) = d(x, y).$$

(b) Si $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ son dos sucesiones de Cauchy en $E$, pruebe que la sucesión de números reales

$$(d(x_n, y_n))_{n\in\mathbb{N}}$$

es convergente.

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Sea $(E,d)$ un espacio métrico y sean $(x_n),(y_n)\subset E$ con

$$\lim_{n\to\infty} x_n = x \quad\text{y}\quad \lim_{n\to\infty} y_n = y.$$

Paso 1: Desigualdad triangular
En todo espacio métrico se cumple:

$$|d(a,b) - d(c,d)| \le d(a,c) + d(b,d), \quad \forall a,b,c,d\in E.$$

Paso 2: Aplicar a las sucesiones
Tomando $a=x_n, b=y_n, c=x, d=y$:

$$|d(x_n, y_n) - d(x, y)| \le d(x_n, x) + d(y_n, y).$$

Paso 3: Tomar límites
Como $\lim_{n\to\infty} x_n = x$ y $\lim_{n\to\infty} y_n = y$:

$$\lim_{n\to\infty} d(x_n, x) = 0, \quad \lim_{n\to\infty} d(y_n, y) = 0.$$

Por tanto:

$$0 \le \lim_{n\to\infty} |d(x_n, y_n) - d(x, y)| \le 0 \implies \lim_{n\to\infty} |d(x_n, y_n) - d(x, y)| = 0.$$

Paso 4: Concluir

$$\lim_{n\to\infty} d(x_n, y_n) = d(x, y).$$

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Resolución de MathExchange

link La clave es usar la desigualdad triangular inversa. Como $d$ es una distancia, se cumple:

$$d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y), \quad \forall x,y,z \in X.$$

Esto se puede reescribir como:

$$d(x,y) - d(z,y) \le d(x,z).$$

Como los roles de $x$ y $z$ pueden invertirse, se obtiene la desigualdad triangular inversa:

$$|d(x,y) - d(z,y)| \le d(x,z).$$

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Luego, aplicando esto a sucesiones:

$$|d(p_n,q) - d(p,q)| \le d(p_n,p), \quad |d(p_n,q_n) - d(p_n,q)| \le d(q_n,q).$$

Usando lo anterior y la desigualdad triangular normal:

$$|d(p_n,q_n) - d(p,q)| \le |d(p_n,q_n) - d(p_n,q)| + |d(p_n,q) - d(p,q)| \le d(q_n,q) + d(p_n,p).$$

Dado $\varepsilon>0$, como $\lim_{n\to\infty} p_n = p$ y $\lim_{n\to\infty} q_n = q$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n\ge N$:

$$d(p_n,p) < \frac{\varepsilon}{2} \quad \text{y} \quad d(q_n,q) < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Por lo tanto, para todo $n \ge N$:

$$|d(p_n, q_n) - d(p,q)| \le d(p_n,p) + d(q_n,q) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Esto muestra, por definición de límite:

$$\lim_{n \to \infty} d(p_n, q_n) = d(p,q).$$

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Ejercicio b)

Demostración: La sucesión de distancias de Cauchy es convergente

Sea $(E,d)$ un espacio métrico y sean $(x_n),(y_n)\subset E$ dos sucesiones de Cauchy. Queremos probar que la sucesión de números reales

$$(d(x_n, y_n))_{n\in\mathbb{N}}$$

es convergente.

Paso 1: Desigualdad triangular inversa

Para cualquier $n,m\in\mathbb{N}$, se cumple:

$$|d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)| \le |d(x_n, y_n) - d(x_n, y_m)| + |d(x_n, y_m) - d(x_m, y_m)|.$$

Aplicando la desigualdad triangular inversa a cada término:

$$|d(x_n, y_n) - d(x_n, y_m)| \le d(y_n, y_m), \quad |d(x_n, y_m) - d(x_m, y_m)| \le d(x_n, x_m),$$

por lo que obtenemos

$$|d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)| \le d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m).$$

Paso 2: Acotar usando que son Cauchy

Sea $\varepsilon>0$. Como $(x_n)$ y $(y_n)$ son Cauchy, existe $N\in\mathbb{N}$ tal que para todo $n,m\ge N$:

$$d(x_n,x_m) < \frac{\varepsilon}{2}, \quad d(y_n,y_m) < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Entonces, para $n,m\ge N$:

$$|d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)| \le d(x_n,x_m) + d(y_n,y_m) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Paso 3: Concluir

Por definición, $(d(x_n,y_n))$ es Cauchy en $\mathbb{R}$. Como $\mathbb{R}$ es completo, toda sucesión de Cauchy converge, por lo que

$$(d(x_n, y_n))_{n\in\mathbb{N}} \text{ es convergente.}$$

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Reso de foro: link

Sea $(p_n),(q_n) \subset E$ dos sucesiones de Cauchy en un espacio métrico $(E,d)$. Queremos probar que la sucesión de números reales

$$(d(p_n,q_n))_{n\in\mathbb{N}}$$

es convergente.

Paso 1: Dado $\varepsilon>0$

Como $(p_n)$ y $(q_n)$ son Cauchy, existe $N\in\mathbb{N}$ tal que para todos $m,n \ge N$:

$$d(p_m, p_n) < \frac{\varepsilon}{2}, \quad d(q_m, q_n) < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Paso 2: Aplicar desigualdad triangular

Por la desigualdad triangular inversa en métricas:

$$|d(p_m,q_m) - d(p_n,q_n)| \le |d(p_m,p_n)| + |d(q_m,q_n)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Paso 3: Concluir que la sucesión es Cauchy

Esto muestra que para todo $\varepsilon>0$ existe $N$ tal que $m,n \ge N$ implica:

$$|d(p_m,q_m) - d(p_n,q_n)| < \varepsilon,$$

es decir, $(d(p_n,q_n))$ es Cauchy en $\mathbb{R}$.

Paso 4: Convergencia

Como $\mathbb{R}$ es completo, toda sucesión de Cauchy converge. Por lo tanto:

$$(d(p_n,q_n))_{n\in\mathbb{N}} \text{ es convergente.}$$