G1-E9

Sean $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ y $( y_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ sucesiones de números reales tales que $x_{n}\underset{ n\to \infty }{ \to } l_{1}$ y $y_{n}\to l_{2}$ . Probar que si $x_{n}\leq y_{n}$ para todo $n$, entonces $l_{1}\leq l_{2}$.

$Dem:$ Dado $\varepsilon>0$, por hipótesis sabemos que

$$\begin{array}{c} \:\exists\:n_{1}\in \mathbb{N}\:|\: |x_{n}-l_{1}|<\frac{\varepsilon}{2}\quad \forall n\geq n_{1} \\ \:\exists\:n_{2}\in \mathbb{N}\:|\: |y_{n}-l_{2}|<\frac{\varepsilon}{2}\quad \forall n\geq n_{2} \end{array}$$

Considero $n_{0}=max\{ n_{1},n_{2} \}$ Ahora, si $n\geq n_{0}:$

$$l_{1}=l_{1}-x_{n}+x_{n}\leq |l_{1}-x_{n}|+x_{n}<\frac{\varepsilon}{2}+x_{n}$$ $$\frac{\varepsilon}{2}+x_{n}-l_{2}+l_{2}\underset{ (x_{n}\leq y_{n}) }{ \leq } \frac{\varepsilon}{2}+y_{n}-l_{2}+l_{2}\leq \frac{\varepsilon}{2}+l_{2}+|y_{n}-l_{2}|$$ $$l_{1}< \frac{\varepsilon}{2}+l_{2}+\frac{\varepsilon}{2}=l_{2}+\varepsilon$$

Como $\varepsilon$ era arbitrario y por ejercicio 1 de la guía 1 entonces

$$l_{1}\leq l_{2}$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$