G1-E6

Dados un conjunto de números reales AA y c∈Rc \in \mathbb{R}, denotamos

cA={ca:a∈A}.cA = \{ca : a \in A\}.

Más aún, −A-A denotará al conjunto (−1)A( -1 )A. Pruebe las siguientes afirmaciones:

(a) Si AA está acotado superiormente, entonces −A-A está acotado inferiormente e

inf⁡(−A)=−sup⁡A.\inf(-A) = -\sup A.
  • Veamos que −A-A está acotado inferiormente: Sabemos que AA está acotado superiormente, por lo tanto existe cota superior cc tal que:
a≤c∀a∈Aa\leq c\quad \forall a \in A

Luego, si multiplicamos la desigualdad por −1:-1:

a≤c∀a∈A−c≤−a∀a∈A\begin{array}{c} a\leq c \quad \forall a \in A\\ -c\leq -a \quad \forall a \in A \end{array}

Por lo tanto −c-c es cota inferior de −A-A, entonces −A-A está acotado inferiormente.

  • Ahora veamos que inf(−A)=−sup(A)inf(-A)=-sup(A)

Por propiedad de supremo, sup(A)sup(A) es una cota superior de AA:

a≤sup(A)∀a∈Aa\leq sup(A)\quad \forall a \in A   ⟹  −sup(A)≤−a∀a∈A\implies-sup(A)\leq -a\quad \forall a \in A

Entonces −sup(A)-sup(A) resulta ser una cota inferior de −A-A. (1)

Dada una cota superior cc de AA, como sup(A)sup(A) es la menor de las cotas superiores de AA tengo que

sup(A)≤csup(A)\leq c

Multiplicamos por −1-1:

−c≤−sup(A)-c\leq -sup(A)

Como −c-c es cota inferior de −A-A. Y cc era cualquier cota superior de AA. Entonces considero que −sup(A)-sup(A) es la mayor de las cotas superiores de −A-A. (2)

Por (1) y (2) entonces inf(−A)=−sup(A)inf(-A)=-sup(A)

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

(b) Si c>0c > 0 y AA está acotado superiormente, entonces cAcA está acotado superiormente y

sup⁡(cA)=csup⁡(A).\sup(cA) = c \sup(A).
  • Veamos primero que c⋅Ac\cdot A está acotado superiormente Como AA está acotado superiormente existe cota superior ss de AA
a≤s∀a∈Aa\leq s\quad \forall a \in A

Multiplicamos por c>0c>0

c⋅a≤c⋅s∀a∈A(1)c\cdot a\leq c\cdot s\quad \forall a \in A\tag{1}

Por definición de c⋅Ac\cdot A y (1) entonces c⋅sc\cdot s es cota superior de c⋅Ac\cdot A. Por lo tanto c⋅Ac\cdot A está acotado superiormente.

  • Veamos que sup(cA)=c⋅sup(A)sup(cA)=c\cdot sup(A) Como AA acotado y no vacío existe sup(A)sup(A). sup(A)sup(A) es cota superior de AA.
a≤sup(A)∀a∈Aa\leq sup(A)\quad \forall a \in A

Como c>0c>0

c⋅a≤c⋅sup(A)∀a∈Ac\cdot a\leq c\cdot sup(A)\quad \forall a \in A

Por lo tanto c⋅sup(A)c\cdot sup(A) es cota superior de c⋅Ac\cdot A.

Sea ss cota superior de AA. Por definición de supremo

sup(A)≤ssup(A)\leq s c⋅sup(A)≤c>0c⋅s(2)c\cdot sup(A)\underset{ c>0 }{ \leq } c\cdot s\tag{2}

Por (1) c⋅sc\cdot s es cota superior de c⋅Ac\cdot A. Ahora por (2)(2) c⋅sup(A)c\cdot sup(A) es la menor de las cotas superiores de c⋅Ac\cdot A Por lo tanto

sup(c⋅A)=c⋅sup(A)sup(c\cdot A)=c\cdot sup(A) □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square