G1-E5

Sean $A \subseteq B \subseteq \mathbb{R}$, con $A \neq \emptyset$. Pruebe las siguientes afirmaciones: (a) Si $B$ está acotado superiormente, entonces $A$ también lo está, y $\sup A \leq \sup B$.

En primer lugar, como $A\neq \emptyset$ y $A\subseteq B$ entonces $B\neq \emptyset$
Como $B$ está acotado superiormente y no vacío, entonces existe $sup(B)$

• Primero veamos que $A$ está acotado $sup(B)$ es cota superior de $B$, entonces

$$b\leq sup(B)\quad \forall b \in B$$

Como $A\subseteq B$ en particular también, pues $a \in B\quad\forall a \in A$:

$$a\leq sup(B) \quad \forall a \in A$$

Por lo tanto $A$ tiene cota superior, entonces $A$ está acotado.

• Ahora veamos que $sup(A)\leq sup(B)$

Afirmo que existe $sup(A)$ pues $A$ es acotado (lo acabamos de demostrar) y es no vacío (por hipótesis).
Voy por absurdo y supongo que $sup(A)>sup(B)$

Sea $\varepsilon=sup(A)-sup(B)>0$

Luego

$$\:\exists\:a_{1}\in A\:|\:sup(A)-\varepsilon<a_{1}$$ $$\begin{array}{c} sup(A)-\varepsilon<a_{1} \\ \cancel{ sup(A) }-(\cancel{ sup(A) }-sup(B))<a_{1} \\ sup(B)<a_{1} \end{array}\tag{1}$$

Pero por ser supremo también tengo que

$$b\leq sup(B) \quad \forall b \in B$$

En particular

$$a\leq sup(B)\quad \forall a \in A\tag{2}$$

De (1) y (2) se llega a un absurdo, resultado de suponer $sup(A)>sup(B)$ Por lo tanto, debe pasar que

$$sup(A)\leq sup(B)$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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(b) Si $B$ está acotado inferiormente, entonces $A$ también lo está, e $\inf B \leq \inf A$.

La demo es similar al punto a)

• $A$ está acotado inferiormente por $inf(B)$
• Suponemos que $\inf(B)>\inf(A)$ y llegamos a un absurdo.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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(c) Si $A$ no está acotado, entonces $B$ tampoco lo está.

Si considero el contrarecíproco, resulta:

$$\text{Si $B$ está acotado, entonces $A$ está acotado.}$$

Hay dos casos,

• Si $B$ está acotado superiormente, aplico item a)
• Si $B$ está acotado inferiormente, aplico item b)

Ambos casos están cubiertos, por lo tanto: Si $B$ está acotado, entonces $A$ está acotado.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$