G1-E2

Ejercicio a)

Sean $x, y \in \mathbb{R}$ tales que $y - x > 1$. Pruebe que existe un entero entre $x$ e $y$.

$Dem:$ Sean $x, y \in \mathbb{R}$ tales que $y - x > 1$. Defino el conjunto $A=\{ k\in \mathbb{Z}:k\leq y \}$

• $A$ es acotado superiormente ($y$ es cota superior de $A$ )
• y no vacío ya que $\mathbb{Z}$ no está acotado inferiormente (pues $-\mathbb{N}$ no está acot. inf.) Por lo tanto, por el axioma de completitud, $A$ tiene supremo $s=sup(A)$. Más aún, $s \in A$. Por lo tanto $s \in \mathbb{Z}$

Esto está demostrado en la practica 1 2C2024. Es por absurdo

Como $s \in A\implies s\leq y$. (1) Como $s \in \mathbb{Z}\implies s+1\in \mathbb{Z}\implies s+1>y$ pues si no se cumpliera, $s$ no sería supremo. Con esto último tengo que $y<s+1$ y por hipótesis $x+1<y$
Entonces

$$x+1<y<s+1\iff x<s \tag{2}$$

Por lo tanto, por (1) y (2):

$$x<s\leq y$$

Como $s \in \mathbb{Z}$, existe un entero entre $x$ e $y$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Ejercicio b)

Sean $x, y \in \mathbb{R}$ tales que $x < y$. Pruebe que existe un racional entre $x$ e $y$.

$Dem:$ Dados $x,y \in \mathbb{R}$. Analizo 2 casos posibles:

1. Si la diferencia entre ambos números es mayor a 1, uso el item anterior. Es decir, si $y-x>1$ entonces $\:\exists\:z \in \mathbb{Z}:x<z\leq y$ . Entonces puedo tomar como racional $z$.

   Tambien podría haber tomado $q=\frac{z+y}{2}$ o $q=\frac{2\cdot z}{2}$

2. Si $y-x\leq1$: Como $y-x \in \mathbb{R}$ entonces por arquímedianidad $\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\:|\: \frac{1}{n_{0}}<y-x \iff n_{0}\cdot y-n_{0}\cdot x>1$ Luego vuelvo a usar la propiedad del item 2.a), existe entero $z$ tal que

$$n_{0}\cdot x<z\leq n_{0}\cdot y$$ $$x< \frac{z}{n_{0}}\leq y$$

Entonces existe racional $\frac{z}{n_{0}}$ entre $x$ e $y$.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Ejercicio c)

Sean $x, y \in \mathbb{Q}$ tales que $x < y$. Pruebe que existe un irracional entre $x$ e $y$.

$Dem:$

Como $x-\sqrt{ 2 },y-\sqrt{ 2 }\in \mathbb{R}$ por item 2.b) existe racional $q \in \mathbb{Q}\:|\:$

$$x-\sqrt{ 2 }<q<y-\sqrt{ 2 }$$

Sumando $\sqrt{ 2 }$ a la desigualdad

$$x<q+\sqrt{ 2 }<y$$

Como $q+\sqrt{ 2 }$ es irracional, entonces existe un irracional entre $x$ e $y$. Como se quería demostrar.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Ejercicio d)

Sean $x, y \in \mathbb{R}$ tales que $x < y$. Pruebe que existe un irracional entre $x$ e $y$.

$Dem:$ La idea es generar dos racionales $q_{1}$ y $q_{2}$ con la propiedad 2.b). Para luego generar un irracional $r$ utilizando la propiedad 2.c) Consideramos que como $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}$ entonces un racional también es un real.

Usamos propiedad 2.b):

• Como $x,y \in \mathbb{R}$ entonces $\:\exists\:q_{1}\in \mathbb{Q}:x<q_{1}<y$
• Como $q_{1},y \in \mathbb{R}$ entonces $\:\exists\:q_{2}\in \mathbb{Q}:q_{1}<q_{2}<y$ Usamos propiedad 2.c) Luego $q_{1},q_{2}\in \mathbb{Q}$ entonces $\:\exists\:r \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}:q_{1}<r<q_{2}$

Tenemos que

$$x<q_{1}\land q_{2}<y$$

Por lo tanto

$$\:\exists\:r \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}:x<r<y$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$