Enunciado

Sea $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}$. Probar:

1. Si $(x_{2k})_{k\in \mathbb{N}}$ y $(x_{2k-1})_{k\in \mathbb{N}}$ son convergentes, y sus límites coinciden, entonces $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ es convergente.
2. Si $(x_{2k})_{k\in \mathbb{N}}$, $(x_{2k-1})_{k\in \mathbb{N}}$ y $(x_{3k})_{k\in \mathbb{N}}$ son convergentes, entonces $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ es convergente.

Resolución

Sabemos por hipótesis que $\lim_{ k \to \infty }x_{2k}=\lim_{ k \to \infty }x_{2k-1}=l$. Es decir:

$$\begin{array}{l} \forall\mathcal{E}>0\:\exists k_{1}\in \mathbb{N}\:|\: |x_{2k}-l|<\mathcal{E}\quad \forall k\geq k_{1} \\ \forall\mathcal{E}>0\:\exists k_{2}\in \mathbb{N}\:|\: |x_{2k-1}-l|<\mathcal{E}\quad \forall k\geq k_{2} \\ \end{array}$$

Si tomo $N = max\{ k_{1},k_{2} \}$, se cumple que

$$\forall n\geq2N\:\: \exists\:k\geq N\:|\:n=2k\lor n=2k-1$$

Cuando $n$ es par:

$$n=2k \land n\geq2N \implies k\geq\:N \implies |x_{n}-l|=|x_{2k}-l|<\mathcal{E}\quad \forall k\geq N$$

Cuando $n$ es impar:

$$n=2k-1 \land n\geq2N \implies k\geq\:N \implies |x_{n}-l|=|x_{2k-1}-l|<\mathcal{E}\quad \forall k\geq N$$

Como existe $n_{0}=2N \in \mathbb{N}$ tal que:

$$\forall\mathcal{E}>0:|x_{n}-l|<\mathcal{E} \quad \forall n>n_{0}$$

Concluimos que la sucesión $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ es convergente.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

La idea es ver que las $3$ sucesiones convergen al mismo límite. Para así usar la prop. del item anterior y concluir que $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ converge a ese límite.

Uso una propiedad vista en la teórica que dice

$$\begin{array}{l} \text{Si $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ convergente a $l\in \mathbb{R}$. Entonces toda subsucesión $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb{N}}$ también es convergente a $l$.}\quad (1) \end{array}$$

Consideremos las sucesiones $(x_{2k})_{k\in \mathbb{N}}$ y $(x_{3k})_{k\in \mathbb{N}}$, notar que ambas tienen como subsucesión a $(x_{6k})_{k\in \mathbb{N}}$. Y como ambas son convergentes, supongamos:

$$\lim_{ k \to \infty } x_{2k}=l_{1}\quad \lim_{ k \to \infty } x_{3k}=l_{2}$$

Por prop. (1) debe pasar:

$$\lim_{ k \to \infty } x_{6k}=l_{1}\quad \land \quad \lim_{ k \to \infty } x_{6k}=l_{2}$$

Entonces

$$\lim_{ k \to \infty } x_{2k}=\lim_{ k \to \infty }x_{3k}\tag{2}$$

Esto nos dice que $(x_{2k})_{k\in \mathbb{N}}$ y $(x_{3k})_{k\in \mathbb{N}}$ convergen al mismo límite.

Análogamente, consideremos las sucesiones $(x_{2k-1})_{k\in \mathbb{N}}$ y $(x_{3k})_{k\in \mathbb{N}}$, notar que ambas tienen como subsucesión a $(x_{3(2k-1)})_{k\in \mathbb{N}}$. Y como ambas son convergentes, supongamos:

$$\lim_{ k \to \infty } x_{2k-1}=l_{1}\quad \lim_{ k \to \infty } x_{3k}=l_{2}$$

Por prop. (1) debe pasar:

$$\lim_{ k \to \infty } x_{3(2k-1)}=l_{1}\quad \land \quad \lim_{ k \to \infty } x_{3(2k-1)}=l_{2}$$

Entonces

$$\lim_{ k \to \infty } x_{2k-1}=\lim_{ k \to \infty }x_{3k}\tag{3}$$

Esto nos dice que $(x_{2k-1})_{k\in \mathbb{N}}$ y $(x_{3k})_{k\in \mathbb{N}}$ convergen al mismo límite. Finalmente por (1) y (2) tenemos que $(x_{2k-1})_{k\in \mathbb{N}}$ y $(x_{2k})_{k\in \mathbb{N}}$ convergen al mismo límite, y por propiedad del item anterior concluimos que $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ es convergente.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$