$$\begin{array}{l} \text{Sean $(a_{n})_{n\geq1}\subseteq \mathbb{R}$ y $l\in \mathbb{R}$.}\\ \text{Probar que si toda subsucesión $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb{N}}$ tiene una subsucesión $(a_{n_{k_{j}}})_{j\in \mathbb{N}}$ que converge a $l$}\\ \text{, entonces la sucesión $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $l$} \end{array}$$

Vamos por absurdo: Usamos que cualquier subsucesión de una sucesión que converge a $l$ también converge a $l$. Asumimos que no converge a $l$. Y encontramos una subsucesión que converja a $l$

Buscamos negar para todo $\epsilon>0\: \exists n_{0}\in \mathbb{N}|si\:n\geq n_{0}$ se cumple:

$$|a_{n}-l|<\epsilon$$

Entonces veo si existe algún

$$\epsilon>0\:\forall n_{0}\in N,\exists n\geq n_{0}:|a_{n}-l|\geq\epsilon \tag{*}$$

Como $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ no converge a $\mathscr{l}$ entonces se cumple (*) para algún $\varepsilon>0$ Dado ese $\epsilon>0$. Existe $n_{1}\geq{1}$ tal que vale (*) Luego existe $n_{2}\geq n_{1}+1$ tal que vale (*) Luego existe $n_{3}\geq n_{2}+1$ y así ... Así tengo infinitos términos $n_{i}$. Me armo entonces una subsucesión con estos términos que definí.

Verificar que la subsucesión $(a_{n_{k}})_{k}$ no tiene ninguna subsubsucesión convergente a $l$. Llegamos a un absurdo. Pues por hipótesis tenia que toda subsucesión $( a_{n_{k}} )_{k \in \mathbb{N}}$ tiene una subsubsucesión que converge a $l$.

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Demostración (por absurdo)

Supongo, para llegar a una contradicción, que la sucesión $(a_n)$ no converge a $l$.

Por definición, $(a_n)$ converge a $l$ si y solo si

$$\forall \epsilon>0,\ \exists n_0\in \mathbb{N} \text{ tal que } n\geq n_0 \implies |a_n-l|<\epsilon.$$

Negar esta definición implica que

$$\exists \epsilon_0>0 \text{ tal que } \forall n_0\in \mathbb{N},\ \exists n\geq n_0 \text{ con } |a_n-l|\geq \epsilon_0.$$

Construcción de una subsucesión contradictoria:

Construimos inductivamente una subsucesión $(a_{n_k})$ de la siguiente manera:

• Paso 1:
  Tomamos un índice $n_1\geq 1$ tal que

$$|a_{n_1}-l|\geq \epsilon_0.$$

• Paso 2:
  Suponiendo que ya se ha elegido $n_k$, existe $n_{k+1}>n_k$ tal que

$$|a_{n_{k+1}}-l|\geq \epsilon_0.$$

De este modo, obtenemos una subsucesión

$$(a_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$$

tal que para todo $k\in\mathbb{N}$ se cumple

$$|a_{n_k}-l|\geq \epsilon_0.$$

Por hipótesis, toda subsucesión de $(a_n)$ tiene una subsucesión convergente a $l$. En particular, la subsucesión $(a_{n_k})$ debe tener una subsucesión

$$(a_{n_{k_j}})_{j\in\mathbb{N}}$$

que converge a $l$, es decir,

$$\lim_{j\to\infty}a_{n_{k_j}}=l.$$

Sin embargo, al ser $(a_{n_{k_j}})$ una subsucesión de $(a_{n_k})$, para todo $j\in\mathbb{N}$ se tiene:

$$|a_{n_{k_j}}-l|\geq \epsilon_0.$$

Pero la convergencia de $(a_{n_{k_j}})$ a $l$ implica que, para $\epsilon=\epsilon_0$, existe un índice $J\in\mathbb{N}$ tal que para todo $j\geq J$ se cumple

$$|a_{n_{k_j}}-l|<\epsilon_0.$$

Esta contradicción nos indica que efectivamente:

$$\lim_{n\to\infty}a_n=l.$$