Sea $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}$ una sucesión no acotada superiormente. Probar que existe una subsucesión $( x_{n_{k}} )_{k \in \mathbb{N}}$ que diverge a $+\infty$.

$Dem:$ Por hipótesis $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ no está acotada superiormente, es decir:

$$\forall M>0\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\:|\: x_{n}>M\quad \forall n\geq n_{0}$$

Además si una sucesión diverge, entonces:

$$\forall t\in \mathbb{R}\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\:|\: t<x_{n_{0}}$$

Construyo mi subsucesión $( x_{n_{k}} )_{k \in \mathbb{N}}$ con primer término $x_{n_{0}}$. Tomo $t_{1}=\underset{ 1\leq i\leq n_{0} }{ max }\{ x_{i} \}$, luego como $t_{1}\in \mathbb{R},\:\exists\:n_{1}\in \mathbb{N}: t_{1}<x_{n_{1}}$

$$t_{n}=\underset{ n-1\leq i\leq n }{ max }\{ x_{i} \}$$

Así, mi subsucesión preserva el orden de los términos pues

$$x_{n_{k}}<x_{n_{k+1}}\quad \forall k \in \mathbb{N}$$

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Otra resolución

Por hipótesis, la sucesión $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ no está acotada superiormente:

$$\forall M > 0, \quad \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } x_{n_0} > M.$$

En otras palabras, por más grande que elijamos un número $M$, siempre encontraremos un término de la sucesión que lo supere.

Queremos construir una subsucesión $( x_{n_{k}} )_{k \in \mathbb{N}}$ que tienda a infinito, es decir, que sus términos crezcan indefinidamente:

• Elegimos el primer término:
  Como $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ no está acotada superiormente, en particular, existe un índice $n_1$ tal que:

$$x_{n_1} > 1.$$

• Elección recursiva de los términos siguientes:
  Una vez elegido $x_{n_k}$, elegimos $x_{n_{k+1}}$ como el primer término de la sucesión que aparece después de $x_{n_k}$ ($n_{k}<n_{k+1}$) y que es mayor que $k+1$.

  Es decir, dado $x_{n_k}$, tomamos:

$$n_{k+1} > n_k \quad \text{tal que} \quad x_{n_{k+1}} > k+1.$$

Así:

$$x_{n_1} < x_{n_2} < x_{n_3} < \dots$$

y además, por construcción, tenemos que:

$$x_{n_k} > k.$$

Dado que $k \to \infty$,entonces:

$$x_{n_k} \to +\infty.$$

Por lo tanto

$$\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = +\infty.$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

• Faltaría desarrollar eso de que no converge.

Eso de pedir que $n_{k}<n_{k+1}$ es para que la subsucesión resultante respete el orden de los términos de la sucesión original, si no lo pidiéramos pasaría algo como esto:

La subsucesión que genere respeta que para todo $k:k<x_{k}$ . Pero no respeta el orden original pues el 5to término de la sucesión aparece 2do en la subsucesión y el 4to aparece 3ro. Por lo tanto no es una subsucesión válida. Por eso pido que $n_{k}<n_{k+1}$ así no se pueden generar subsucesiones inválidas.