G1-E1

Pruebe que si $x < y + \varepsilon$ para todo $\varepsilon > 0$, entonces $x \leq y$. Deduzca que si $|x - y| < \varepsilon$ para todo $\varepsilon > 0$, entonces $x = y$.

$Dem:$

Una primera idea era por el contrarecíproco, y luego por absurdo. Pero decidí ir directo por absurdo.

Dados $x,y \in \mathbb{R}$ tal que $x<y+\varepsilon \quad\forall\varepsilon>0$. Supongo, buscando una contradicción, que $x>y$ Considero $\varepsilon=x-y>0$ Tengo

$$x<y+\varepsilon=\cancel{ y }+(x-\cancel{ y })=x \implies x<x$$

Lo cual es una contradicción, debido a la suposición de que $x>y$. Entonces debe suceder que $x\leq y$ .

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

Falta deducir que si $|x - y| < \varepsilon$ para todo $\varepsilon > 0$, entonces $x = y$.

Dado $\mathcal{E}>0$

$$|x-y|<\mathcal{E}\iff \begin{cases} x-y<\mathcal{E} \quad (1)\\ y-x<\mathcal{E}\quad (2) \end{cases}$$

Si utilizamos la propiedad anterior en (1) y (2) tenemos que

$$|x-y|<\mathcal{E}\iff \begin{cases} x\leq y\\ y\leq x \end{cases} \implies x=y$$

$\mathcal{E}$ era arbitrario, por lo tanto se cumple $\forall\mathcal{E}>0$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$