Esta es una entrega optativa de un ejercicio para que les corrijamos. Quienes quieran, pueden resolver el próximo ejercicio en grupos de no menos de 3 personas para entregar con fecha límite el día martes 29 de abril y que se les corrija.

Consideramos el conjunto $M_2(\mathbb{R})$ formado por todas las matrices de $2 \times 2$ con coeficientes reales. Definimos

$$d_\infty(A, B) = \max \left\{ |a_{ij} - b_{ij}| \right\}$$

donde $A = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq 2}$ y $B = (b_{ij})_{1 \leq i,j \leq 2}$ son dos elementos de $M_2(\mathbb{R})$.

1. Probar que $(M_2(\mathbb{R}), d_\infty)$ es un espacio métrico.

2. Probar que $GL^+_2(\mathbb{R}) \subseteq M_2(\mathbb{R})$ es un abierto, donde

$$GL^+_2(\mathbb{R}) = \left\{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A \text{ es inversible y todas sus coordenadas son positivas} \right\}.$$

3. Sea $a \in \mathbb{R}$ con $a > 0$. Probar que la matriz

$$A = \begin{pmatrix} a & a \\ a & a \end{pmatrix}$$

pertenece a la clausura de $GL^+_2(\mathbb{R})$.

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2

Sea $A \in G\mathscr{l}_{2}^{+}$, como $A$ invertible.

$$\det(A)\neq 0$$

Si $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ entonces:

$$a\cdot d-b\cdot c\neq 0$$

Dado $r>0:$

$$B_{d_{\infty}}(A,r)=\{ B\in M_{2}(\mathbb{R}):d_{\infty}(A,B)<r \}$$

Quiero ver que $\forall B \in B_{d\infty}(A,r)$ tengo que $B \in G\mathscr{l}_{2}^{+}$ .

Tomo

$$r=min\left\{ a,b,c,d,|\det(A)|\cdot \frac{1}{a+b+c+d} \right\} \cdot \frac{1}{2}\tag{*}$$

Sea $B \in B_{d\infty}(A,r)$ Afirmo: $B$ tiene todos sus términos positivos. Sea un término arbitrario $b_{i,j}$ de $B$:

$$|a_{i,j}-b_{i,j}|\leq \underset{ 1\leq i,j\leq 2 }{ max }\{ |a_{i,j}-b_{i,j}| \}=d_{\infty}(A,B)<r\leq \frac{a_{i,j}}{2}$$

Entonces

$$|a_{i,j}-b_{i,j}|< \frac{a_{i,j}}{2}\iff \frac{a_{i,j}}{2}< b_{i,j}$$

Y como $A$ tiene todos sus términos positivos, y los índices $i,j$ eran arbitrarios tengo que

$$b_{i,j}>0\quad \forall i,j$$

Por otro lado, para demostrar que $B$ es invertible notar que

$$|a_{i,j}-b_{i,j}|<r$$

Con $i,j$ arbitrarios. Cada elemento de $B$ está acotado

$$a_{i,j}-r<b_{i,j}<a_{i,j}+r\tag{I}$$

Tenemos dos casos, si $\det(A)>0$. Pedimos que $\det(B)>0$

Sea $B=\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2} \\ b_{3} & b_{4}\end{pmatrix}$ y $A=\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2} \\ a_{3} & a_{4}\end{pmatrix}$

$$\begin{array}{c} \det(B)=\underbrace{ b_{1}\cdot b_{4} }_{ (1) }-\underbrace{ b_{3}\cdot b_{2} }_{ (2) }\underset{ I }{ \geq } \underbrace{ (a_{1}-r)\cdot(a_{4}-r) }_{ \text{Lo mas chico de (1)} }-\underbrace{ (a_{3}+r)\cdot(a_{2}+r) }_{ \text{Lo mas grande de (2)} }= \\ =\underbrace{ a_{1}\cdot a_{4}-a_{2}\cdot a_{3} }_{ =\det(A) }-r\cdot(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}) \end{array}$$

Como pedimos $\det(B)>0$

$$\det(B)\geq \det(A)-r\cdot \sum a_{i}>0\iff \det(A)>r\cdot \sum a_{i}$$

Como $A$ tiene todos sus términos positivos e inversible, $\sum a_{i}>0$

$$\iff r< \frac{\det}{\sum a_{i}}$$

En el caso de que $\det(A)<0$. Pedimos $\det(B)<0$

$$\begin{array}{c} \det(B)=\underbrace{ b_{1}\cdot b_{4} }_{ (1) }-\underbrace{ b_{3}\cdot b_{2} }_{ (2) }\underset{ I }{ \leq } \underbrace{ (a_{1}+r)\cdot(a_{4}+r) }_{ \text{Lo mas grande de (1)} }-\underbrace{ (a_{3}-r)\cdot(a_{2}-r) }_{ \text{Lo mas chico de (2)} }= \\ =\underbrace{ a_{1}\cdot a_{4}-a_{2}\cdot a_{3} }_{ =\det(A) }+r\cdot(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})<0 \end{array}$$ $$\iff r<\frac{-\det(A)}{\sum a_{i}}$$

En cualquier caso basta tomar $r< \frac{|\det(A)|}{\sum a_{i}}$

Por lo tanto, tomar $r$ como en (*) nos asegura $B$ invertible. Probamos que dado $A \in G\mathscr{l}_{2}^{+}$ se tiene que $\forall B \in B_{d\infty}(A,B)\quad B \in G\mathscr{l}_{2}^{+}$. Como $A$ era arbitrario entonces $G\mathscr{l}_{2}^{+}$ es abierto.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$