Entregable 1 avanzado 2025

Ejercicio para entregar

Análisis avanzado

Esta es una entrega optativa de un ejercicio para que les corrijamos. Quienes quieran, pueden resolver el próximo ejercicio en grupos de no menos de 3 personas para entregar con fecha límite el día martes 15 de abril y que se les corrija.

Ejercicio 1

Sea $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la sucesión dada por recurrencia como:

a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \frac{16}{a_n + 6} \quad \text{para todo } n \geq 1.\tag{1}

Probar que $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es convergente y calcular su límite.

Graficamos la sucesión.

import matplotlib.pyplot as plt

# Definir la sucesión
def sucesion(n):
    a = [1]  # a_1 = 1
    for i in range(1, n):
        siguiente = 16 / (a[-1] + 6)
        a.append(siguiente)
    return a

n = 20
# Generar y graficar los primeros 20 términos
terminos = sucesion(n)
plt.plot(range(1, n+1), terminos, marker='o')
plt.axhline(y=2, color='r', linestyle='--', label='Limite esperado (2)')
plt.title('Primeros terminos de la sucesion')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('a_n')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
plt.close()

Veamos las subsucesión de términos pares

n = 20
todos_los_terminos = sucesion(n)
# Extraer los términos con índice par
# a_2 está en posición 1, a_4 en posición 3, etc.
indices_pares = list(range(2, n+1, 2))
terminos_pares = [todos_los_terminos[i-1] for i in indices_pares]
plt.plot(indices_pares, terminos_pares, marker='o', color='orange', label='Términos pares $a_{2k}$')
plt.grid(True)
plt.show()

$Dem:$ Denoto la subsucesión de términos pares $( b_{k} )_{k \in \mathbb{N}}$ con $b_{k}=a_{2n}$ . De esta forma de (1), si $n=2k$ se deduce que

a_{2k+1}=\frac{16}{b_{k}+6}

No lo entregué, paja. En sí no sumaba nada y la demo era larga : Era definir dos subsucesiones, la de términos pares e impares. Luego ver que ambas convergen a 2. Por Ej. 15 guía 1, entonces la sucesión original converge a 2.