Pandemia - Ejercicios de teórica normados

[!infobox] Equivalencia de Normas y Bi-Lipschitz Contexto: Análisis Funcional / Topología de Espacios Métricos Enunciado: Sea $E$ un espacio vectorial. Las normas $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|_2$ son equivalentes $\iff$ la función identidad $id: (E, \|\cdot\|_1) \to (E, \|\cdot\|_2)$ es bi-Lipschitz. Advertencia/Clave: La clave es notar que en un espacio normado, la métrica es invariante por traslación ($d(x,y) = \|x-y\|$), lo que permite pasar de la definición de Lipschitz (sobre restas) a la de equivalencia (sobre vectores individuales) haciendo $y=0$.

Demostración Formal:

$\boxed{\implies}$ Supongamos que $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|_2$ son equivalentes. Por definición de equivalencia, existen constantes $\alpha, \beta > 0$ tales que $\forall v \in E$:

$$\alpha \|v\|_1 \leq \|v\|_2 \leq \beta \|v\|_1$$

Sean $x, y \in E$ arbitrarios. Definimos $v = x - y$. Sustituyendo en la desigualdad anterior:

$$\alpha \|x - y\|_1 \leq \|x - y\|_2 \leq \beta \|x - y\|_1$$

Dado que $id(x)=x$, reescribimos los términos centrales y extremos:

1. $\|x - y\|_2 = \|id(x) - id(y)\|_2$
2. $\|x - y\|_1 = d_1(x, y)$ Por lo tanto:

$$\alpha d_1(x, y) \leq d_2(id(x), id(y)) \leq \beta d_1(x, y)$$

Esto satisface la definición de función bi-Lipschitz con constantes $\alpha$ y $\beta$.

$\boxed{\impliedby}$ Supongamos que $id: (E, \|\cdot\|_1) \to (E, \|\cdot\|_2)$ es bi-Lipschitz. Por definición, existen constantes $c, C > 0$ tales que $\forall x, y \in E$:

$$c \|x - y\|_1 \leq \|id(x) - id(y)\|_2 \leq C \|x - y\|_1$$

Operando la identidad:

$$c \|x - y\|_1 \leq \|x - y\|_2 \leq C \|x - y\|_1$$

Tomamos el caso particular donde $y = 0_E$ (vector nulo). Recordando que $\|v - 0\| = \|v\|$:

$$c \|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq C \|x\|_1$$

Esta es, por definición, la condición de equivalencia entre las normas $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|_2$. Q.E.D.

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[!infobox] Generalización de Heine-Borel (Dimensión Finita) Contexto: Topología de Espacios Normados Enunciado: Sea $(E, \|\cdot\|)$ un espacio normado de dimensión finita. Un subconjunto $A \subset E$ es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Advertencia/Clave: Esta propiedad NO vale en dimensión infinita (donde la bola unitaria cerrada y acotada no es compacta). La demostración se basa en usar un isomorfismo $T$ para trasladar el problema a $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_2)$, donde sabemos que Heine-Borel es válido.

Demostración Formal ($\impliedby$):

Sea $A \subset E$ cerrado y acotado. Dado que $\dim(E) = n < \infty$, existe un isomorfismo lineal $T: E \to \mathbb{R}^n$. Al ser $E$ y $\mathbb{R}^n$ de dimensión finita, tanto $T$ como $T^{-1}$ son operadores lineales acotados (continuos). Por ende, $T$ es un homeomorfismo.

Consideremos la imagen $B = T(A) \subset \mathbb{R}^n$.

1. Acotación de $B$: Como $A$ es acotado, $\exists R > 0$ tal que $\forall x \in A, \|x\|_E \leq R$. Sea $y \in B$, entonces $y = T(x)$ para algún $x \in A$.

$$\|y\|_2 = \|T(x)\|_2 \leq \|T\|_{op} \|x\|_E \leq \|T\|_{op} R$$

Por lo tanto, $B$ es acotado en $\mathbb{R}^n$.

2. Cerradura de $B$: Podemos escribir $B = (T^{-1})^{-1}(A)$. Dado que $T^{-1}: \mathbb{R}^n \to E$ es continua y $A$ es cerrado en $E$, la preimagen de un cerrado es cerrada. Por lo tanto, $B$ es cerrado en $\mathbb{R}^n$.

3. Compacidad: Como $B \subset \mathbb{R}^n$ es cerrado y acotado, por el Teorema de Heine-Borel en $\mathbb{R}^n$, $B$ es compacto.

4. Conclusión: Finalmente, $A = T^{-1}(B)$. Como $T^{-1}$ es continua y la imagen de un conjunto compacto bajo una función continua es compacta:

$$A \text{ es compacto en } E.$$

Q.E.D.