Final 2da fecha Julio-Agosto 2026

  1. Sean x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} con x<yx < y. Probar que ∃q∈Q∣x<q<y\exists q \in \mathbb{Q} \mid x < q < y.

  2. Sea A⊆RA \subseteq \mathbb{R} acot. sup. Probar que B={−a:a∈A}B = \{-a : a \in A\} está acot. inf. y que inf⁡(B)=−sup⁡(A)\inf(B) = -\sup(A).

  3. Sea k∈Nk \in \mathbb{N}. Probar que Nk={(a1,…,ak):ai∈N, i∈{1,…,k}}\mathbb{N}^k = \{(a_1, \dots, a_k) : a_i \in \mathbb{N}, \, i \in \{1, \dots, k\}\} es num.

  4. Sea (M,d)(M, d) e.m. y sea (an)n⊆M∣an→a∈M(a_n)_n \subseteq M \mid a_n \to a \in M. Probar que (an)n(a_n)_n es acotada.

  5. Sea f:(M,d)→(N,d′)f: (M, d) \to (N, d'), x∈Mx \in M. Probar que ff es cont.   ⟺  ∀\iff \forall suc. (xn)n⊆M(x_n)_n \subseteq M con xn→xx_n \to x se tiene f(xn)→f(x)f(x_n) \to f(x).

  6. Sea K⊆(M,d)K \subseteq (M, d) compacto. Probar que KK es cerr. y acot. Probar con un contraej. que no vale la vuelta.

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