Ejercicio 1: Conjuntos Numerables

Sean $A_1, \dots, A_n$ conjuntos numerables y sea $\{B_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ una familia numerable de conjuntos numerables. Se pide:

1. Probar que el producto cartesiano $A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$ es numerable.
2. Probar que la unión infinita $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i$ es numerable.
3. Decidir si el conjunto de los polinomios con coeficientes racionales, denotado como $\mathbb{Q}[x]$, es numerable o no.

Ejercicio 2: Topología - Conjuntos Abiertos

1. Probar que la intersección finita de conjuntos abiertos es abierta.
2. Dar un ejemplo de una familia de conjuntos abiertos distintos entre sí tal que su intersección infinita sea abierta.
3. Dar un ejemplo de una familia de conjuntos abiertos tal que su intersección infinita no sea abierta.

Ejercicio 3: Funciones Continuas y Cerrados

Sea $f: E \to F$ una función continua y $A \subseteq E$. ($E$ seguramente compacto)

1. Probar que $A$ es cerrado si y solo si $A$ es acotado.
2. Probar que $f$ es una función cerrada (es decir, envía conjuntos cerrados en conjuntos cerrados).

Ejercicio 4: Operadores Lineales y Continuidad

Sea $T: E \to F$ un operador lineal, donde $E$ y $F$ son espacios normados. Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: I. $T$ es continua. II. $T$ es acotada. III. $T$ es Lipschitz.

Ejercicio 5: Teoría de la Medida

1. Sean $A, B$ conjuntos medibles con $A \subseteq B$. Probar que la diferencia $B \setminus A$ es medible. Probar además que, si la medida de $B$ es finita ($\mu(B) < \infty$), entonces:

$$\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$$

2. Sea $A$ un conjunto de medida nula ($\mu(A) = 0$) y sea $f$ una función tal que $f(x) = 0$ para todo $x \notin A$. Probar que $f$ es una función medible.

Advertencia/Clave: Revisar detenidamente las hipótesis de tu apunte original para el Ejercicio 3. En espacios métricos o topológicos generales, la afirmación "cerrado $\iff$ acotado" es falsa (por ejemplo, $[0, \infty)$ en $\mathbb{R}$ es cerrado pero no acotado). Es muy probable que el enunciado asuma que el conjunto es compacto, o que estemos trabajando en un espacio específico donde aplique el Teorema de Heine-Borel. Lo mismo ocurre con que $f$ sea cerrada; suele requerir que el dominio sea compacto o hipótesis adicionales.

---

Final pasado por grupo de whatsapp, puede contener errores de enunciado. Falta chequear. El final de 2da fecha no se anotó nadie.